格波的量子理论及其在固体物理学中的应用

根据表4-1的最后一行可知，简谐近似下，原胞内原子数为n 的三维晶体中存在3n N 个独立的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态由这3n N 个简谐格波共同决定。那么，晶格振动的系统能量是否可表示成3n N 个独立谐振子能量之和？

首先考虑一维单原子链的情形。其哈密顿量为

由于出现了xn+1、xn的交叉项，量子化遇到了困难。在简谐近似下，我们用一系列独立谐振子的振动来表达格波的各独立模式，也就是用简正坐标Qq（t）代替原子在坐标空间中的坐标。

注：简正变换要求非常扎实的量子力学基础，有兴趣的读者可以查阅量子力学教材的相关章节。固体物理看似处处都有量子力学的影子，其实量子力学更多的还是作为工具，辅助学习者对固体物理的掌握。本科阶段对偏微分方程或者格林函数不熟悉很正常，这并不影响对固体物理概念的理解与知识体系的把握。

经过简正变换后可以发现，系统总哈密顿量为N 个谐振子的哈密顿量之和：

上式说明，晶格振动等价于N 个谐振子的振动，且两者频率相等。

由量子力学可知，一个简谐振子的能量本征值为(www.xing528.com)

因此，晶格振动能量是以为单位量子化的，通常把这个能量量子称为声子。

将一维原子链的方法推广到三维，则三维晶格振动的总能量为

式中：N 为晶体中的原胞个数；n为每个原胞中的原子个数。

综上，原命题成立。

注：通过以上的推演，先是将N 个相互耦合的原子振动问题经过简正变换转化为N个独立的谐振子问题，再通过量子化转化为N 个声子的“理想气体问题”。这种简化处理问题的思路很重要，在能带理论中还会再次见到。