倒格子与正格子关系：固体物理学习指导

1.基矢的关系

对于三维晶格，b1，b2，b3可以用下式计算：

其中，Ω=a1·（a2×a3）为正格子原胞体积。

2.正格矢Rl和倒格矢Kh

由正格子基矢和倒格子基矢，可以表达出正格子和倒格子中的任意一个格点对应的位矢，包含到原点长度和方向两个要素。

一般表示方法：正格矢Rl=l1a1+l2a2+l3a3，倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3，其中，l1，l2，l3，h1，h2，h3均为整数。

正格矢与倒格矢的关系：Rl·Kh=2πμ，其中μ 为整数。

3.体积的关系

倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的（2π）3倍：

4.倒格矢与正格子晶面族的关系

倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3与正格子中｛h1h2h3｝晶面族正交，且倒格矢的模|Kh|与面间距存在关系：

5.倒易点阵（倒格子）与布拉菲点阵（正格子）的联系

从正倒格子基矢的正交归一关系可以看出，每一个正格子都有一个与之相对应的倒格子。数学上体现了倒易点阵与布拉菲点阵互为傅里叶空间的关系。另外，倒易点阵的量纲为［长度］-1，与波矢k 的量纲一致。也就是说，倒格子本质上就是波矢（状态）空间，用它可以很方便地描述各种波的状态。

补充资料：关于上段文字中“倒易点阵与布拉菲点阵互为傅里叶空间的关系”，简单说就是正格矢Rl和倒格矢Kh的关系本质上是从傅里叶展开而来，绝非凭空想象。理解这一点，要远远比简单记住上面的结论重要。这对后续的学习也大有裨益。(www.xing528.com)

傅里叶级数在大多数高等数学教材中都会介绍，但都是以三角级数的形式出现：

式中：f（x）为周期函数；an，bn为以积分形式确定的傅里叶系数。

这是为了达到将周期函数分解为一系列简谐波叠加的问题的目的。但在量子力学和固体物理中也常常要处理涉及周期函数的问题，相关教材更多的是直接运用e幂级数形式的傅里叶展开式。例如，第七章中非常重要的晶格周期性势场展开式写为

本着“知其然知其所以然”的学习精神，笔者在运用V（r）展开式介绍正格矢和倒格矢之前，先推导傅里叶展开的三角级数和e幂级数两种形式的转换关系。为了方便后续讨论，我们取周期为a的f（x），则有

上式用到了欧拉公式eix=cos x+isin x 这个被誉为“最完美的数学公式”。注意到指数项的对称性，不妨令f0=a0，fn=则有

事实证明，e幂级数形式的傅里叶展开式形式精简，减轻了很多问题的计算量。

回到Kh和r的问题上来。不难理解，由于晶格的周期性，晶体中某一点的物理性质也符合晶体的周期性，以势场函数V（r）为例，显然在正格子中的r处和平移了矢量R 后的位置，函数值相等，即

若r=l1a1+l2a2+l3a3，考虑到eix以2π为周期（ei2π=1），为了能将V（r）展开为关于r（或者说l1，l2，l3）的傅里叶展开式，我们寻求一组基础矢量b1，b2，b3，满足

这就是之前所讲的倒格子基矢。这样一来，以b1，b2，b3为基的矢量（即倒格矢）可以写为Kh=h1b1+h2b2+h3b3且与r满足

这里的l1，l2，l3，h1，h2，h3均为整数。因此V（r）关于l1，l2，l3的傅里叶展开式可以写为

不难验证，对于任意确定的平移矢量R：

可以说，这就是最初引入倒格矢的数学依据。在之后，倒易空间对X 射线衍射理论、晶格振动理论、能带理论等等固体物理理论的发展起到了重要作用。