高等数学应用基础-复习测试题一

一、填空题

1.设二元函数 f（x，y）=xy+2xy，则 f（2，-1）=________； f（u+2 v，uv）=________

2.函数的定义域为________.

3.函数z=3x3 y2-2xy的偏导数=________；=________.

4.函数z=x3-x2 y2+4y3的二阶偏导数=________，=________，=________，=________.

5.设D 为圆形闭区域，则=________.

6.交换积分次序=________.

7.若，则 y1（x）=________； y 2（x）=________.

8.若D 是由x+y＝1 和两坐标轴围成的三角形区域，则二重积分，其中 φ（y）=________.

9.设xOy 平面上的一块平面薄片D，薄片上分布有密度为 μ（x，y）的电荷，且 μ（x，y）在D上连续，则薄片上电荷Q 的二重积分表达式为________.

10.设二元函数z=sin2（xy），则全微分dz＝________.

二、选择题

1.二元函数的定义域为（ ）.

A. B.

C. D.

2.二重极限=（ ）.

A.0 B.9 C.16 D.∞

3.使不成立的函数是（ ）.

A. B.

C. D.

4.已知D 是由圆（x-2）2+（y-1）2=2所围成的，正确的是（ ）.

A. B.

C. D.不能确定

5.已知，其中D 是圆形区域 x2+y2≤4，则I 的范围为（ ）.

A.(36，52) B.(4，52)

C.(36π，52π) D.(4π，52π)

三、解答题

1.求下列极限.

2.求下列函数的偏导数.

（1）z=exy(x+y)； （2）(www.xing528.com)

（3）z=ln(x+2 y)+2cos(3x2-2 y3)； （4）

3.求函数的全微分.

4.设f（x，y）=ex2+xy+y2，求 fx（2，1），fy（2，1），fxx（2，1），fxy（2，1），fyy（2，1）.

5.求函数f（x，y）=3x2y+y3-3x2-3y2的极值.

6.计算下列二重积分.

（1），其中D 是矩形区域：

（2），其中D 是矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤1；

（3），其中D 是顶点分别为（0，0），（π，0）和（π，π）的三角形闭区域；

（4），其中D 是矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤1.

7.证明不存在.

*8.计算，其中 V 是由曲面z=xy与平面y=x，x=1和z=0所围成的闭区域.

四、应用题

1.求下列给定区域的体积.

（1）求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积

（2）求由下列曲面所围成的立体的体积：z=x+y，z=xy，x+y=1，x=0，y=0.

*2.一物体占有空间V：0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1，在点（x，y，z）的密度是 ρ（x，y，z）=x+2 y+3z，求该物体的质量.

【阅读材料】

牛顿与莱布尼兹

艾萨克·牛顿爵士，英国皇家学会会长，著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》《光学》等著作.

在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒原理，提出了牛顿运动定律.在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展了颜色理论.他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速.

他还证明了广义二项式定理，他提出的“牛顿法”可以趋近函数的零点，为幂级数的研究做出了贡献.

牛顿在1671年完成了著作《流数法和无穷级数》.他在著作中指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前他自己认为的变量是无穷小元素的静止集合.他把连续变量叫作流动量，把这些流动量的导数叫作流数.牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）.

戈特弗里德·威廉·莱布尼兹，德国哲学家、数学家，历史上少见的通才，被誉为17世纪的亚里士多德.他本人是一名律师，经常往返于各大城镇，他的许多公式都是在颠簸的马车上完成的.

莱布尼兹在数学史和哲学史上都占有重要地位.

在哲学上，莱布尼兹的乐观主义最为著名；他认为，“我们的宇宙，在某种意义上是上帝所创造的最好的一个”.他和笛卡尔、巴鲁赫·斯宾诺莎被认为是17世纪三位最伟大的理性主义哲学家.莱布尼兹在政治学、法学、伦理学、神学、哲学、历史学、语言学诸多方面都留下了著作.

1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》.就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却具有划时代的意义.它含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年，莱布尼兹发表了第一篇积分学文献.他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展产生极大的影响.现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼兹精心选用的.

17世纪下半叶，在前人工作的基础上，牛顿和莱布尼兹分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）.

在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼兹分享了发展微积分学的荣誉.