Stewart平台控制器的前向动力学问题

为了简化问题，本案例考虑Stewart平台的平面二维情况。该控制器由三个支杆控制的平面上的一个三角形平台构成，如图6.11所示。内部三角形表示平面Stewart平台，其对应的维数由三个长度L1、L2、L3定义.令γ表示边L1所对的角度，平台位置由三个长度p1、p2、p3控制，其对应三个支杆变化的长度。

图6.10　Stewart平台

图6.11　Stewart平台平面情况

给定三个支杆的长度，确定平台姿态位置，被称为控制器的前向或者方向动力学问题。亦即在给定p1、p2、p3后，计算（x，y）和θ。由于有三个自由度，需要使用三个变量描述平台位置。

对于运动规划，一般需要实时求解。然而平面Stewart平台前向动力学问题没有解析解，当前通用方法为使用几何方程组进行数值求解。

由图6.11可列出以下三个方程：

其中(www.xing528.com)

A2＝L3cosθ-x1

B2＝L3sinθ

A3＝L2cos（θ＋γ）-x2＝L2［cosθcosγ-sinθsinγ］-x2

B3＝L2cos（θ＋γ）-y2＝L2［cosθcosγ＋sinθsinγ］-y2

只要D＝2（A2B3-B2A3）≠0，展开式（6.22）、式（6.23）并代入A2、A3、B2、B3，可解得

将式（6.24）、式（6.25）代入式（6.21），整理得到

式（6.26）中只含一个未知数θ。如果找到f（θ）对应的根，x和y也易于求得。