设计一台三级圆锥圆柱齿轮减速器，已知总传动比i＝50，低速级大齿轮上的工作扭矩T＝45 N·m，高、中、低速级载荷系数K1＝K2＝K3＝1.2，许用接触应力［σ］H1＝［σ］H2＝［σ］H3＝675 MPa，圆锥齿轮齿宽系数φR＝0.3，中、低速级齿轮齿宽系数分别为φd2＝1，φd3＝1.2，按最小长度条件分配传动比。
参考式（6.12），得
代入式（6.15），得
将i3代入式（6.15）第二个方程，得如下非线性方程：
为了更好地选用迭代方法，先画出了原方程f（x）＝0中y＝f（x）的图像，如图6.2所示。
图6.2 y＝f（x）
可看出该函数零点在（4，5）范围内，且在该区间单调。因而本案例采用二分法、牛顿迭代法和弦截法对该非线性方程进行求解。
二分法的初始区间即可设为［4，5］，不断地取其中点，通过判断其和区间端点的函数值分别乘积得到的值的正负，来取下一个区间，给定精度范围，当满足后停止。（具体过程见MATLAB代码）；牛顿迭代法的迭代公式为
，k＝0，1，…，且从图6.2中可知其一定收敛；弦截法是在牛顿迭代法的基础上，用两点所连成弦的斜率代替该点处导数：
，…。
MATLAB代码如下：(www.xing528.com)
程序输出结果见表6.1～表6.3。
表6.1 二分法计算数据列表
最终计算结果为4.200 2。
表6.2 牛顿迭代法计算数据列表
表6.3 弦截法计算数据列表
从本案例数据很容易看出，三种方法均收敛；仅从计算次数判断收敛速度来看，牛顿迭代法收敛速度最快，弦截法次之，二分法收敛速度最慢。下面从一般性角度来比较三种方法的收敛性和收敛的快速性。首先针对二分法来说，若原方程有解，初始范围选择正确且函数连续的话，则其一定收敛。收敛的速度和初始区间的选择有关，而且在程序运行中只涉及取中点、代入、比较的过程，即使迭代步数很多，运行速度依旧很快。对于牛顿迭代法来说，首先其收敛性和初值的选取有关，若初值x0与x*距离很远，则该方法有可能发散，其次其收敛性只能达到线性收敛，且在f′（xk）≠0时才能使用，当有重根情形时需要知道其根的重数才可使用该方法，且迭代公式改变为
。针对其快速性，由于其要求出每个迭代点的导数，增加了计算繁复性，从该角度分析其快速性有提高空间；但其收敛速度较快，优于二分法。弦截法是牛顿迭代法的演变，其收敛性也和初值的选择有关；从快速性来看，该方法减少了求导数的部分，而是利用弦的斜率去代替，加快了计算速度，但是很可能出现越过精确值的情况，也就是说会出现从两侧逼近精确值的情形，因而从收敛的速度来看，仍然是牛顿迭代法更有优势。本案例中由于在取弦截法初值的第二个点时，运用了一次牛顿迭代法，多求了原函数的导函数，故速度较慢。
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