《九章筭术注》结构分析及郭书春数学史评述

第二点，我想谈认真分析篇章结构的问题。

研究一部古籍，首先要“离经辨志”。所谓“离经”就是正确句读；所谓“辨志”就是认识该古籍的篇章结构与主旨。上面谈的刘徽割圆术问题，就是弄清其主旨。大多数古代典籍经过了久远的历史积淀，因此其构成往往十分复杂。而且，历代愈受重视，研究得愈多的典籍，历史积淀愈复杂。认识这种现象，并进而分析、厘清古代典籍的篇章结构，不仅是正确校勘这些古籍的前提，而且也是正确认识古籍，还历史的本来面貌所必须做的工作。

近30年来，许多关于刘徽的著述，都自觉或不自觉地将刘徽注的内容看成全都是刘徽本人的数学创造。这是不符合事实的。刘徽在《九章筭术注·序》中谈到他撰著《九章筭术注》的过程时说：

徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总筭术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。[10]

可见，根据刘徽的自述，《九章筭术注》是由刘徽一人撰写的，却包括“悟其意”者即刘徽自己的数学创造与“采其所见”者即刘徽采用的前人或同代人的数学成果两部分内容。钱宝琮、严敦杰已对此有所认识。钱宝琮将齐同术、图验法、棊验法等看成“整理了各项解题方法的思想系统，提高《九章算术》的学术水平”的部分，而将圆周率与圆面积、圆锥体积与球体积、方程新术，以及为方亭体积、勾股容圆径等提出的新的公式等，看成“刘徽《九章算术注》中的几个创作”[9]。严敦杰则明确提出了“刘徽注文引《九章》以前的旧说”与“刘徽参考了他稍前或同时的各家《九章》”[11]。事实上，刘徽注本身也证实了他自己在《九章筭术注·序》中的说法。

首先，出入相补原理不是刘徽首创的，而是他以前甚至《九章筭术》成书时代就在使用的一个原理。出入相补原理在面积、测望、勾股问题中的应用通常称为图验法。以勾股问题为例，刘徽关于《九章筭术》解勾股形诸问的注与赵爽《周髀筭经注》的“勾股圆方图注”[12]的论述基本一致，只是个别术语不同，表明图验法是当时人们的共同知识。可见，这些方法是刘徽、赵爽以前，甚至《九章筭术》编纂过程中，就已经被人们所掌握，赵爽取之撰“勾股圆方图注”，刘徽采之注《九章筭术》勾股章。出入相补原理在体积问题中的应用通常称为棊验法。棊验法要用到长、宽、高各为1尺的立方、堑堵、阳马三种棊，称为“三品棊”。刘徽在商功章方亭术注中说：“此章有堑堵、阳马，皆合而成立方。盖说筭者乃立棊三品，以效广深之积。”[10]“说筭者”无疑是他以前的数学家。用棊验法验证某多面体的体积公式时所拼合成的一个或几个长方体，恰恰由《九章筭术》该多面体的术文表示出来，这是《九章筭术》成书时已通晓棊验法的明证。[13]换言之，使用棊验法所构造的特定的长方体的体积一般是《九章筭术》体积公式的各项。因此，有理由认为，《九章筭术》的作者就是借助于棊验法推导多面体体积公式的。刘徽在开始证明刘徽原理之前，明确指出了棊验法的局限性，使用它只可证明长、宽、高相等的阳马、鳖腝的体积公式，而对长、宽、高不相等的阳马、鳖腝的体积公式“则难为之矣”。因此，他在实际上是否定棊验法的，认为它不是证明一般多面体体积公式的有效方法。总之，图验法、棊验法及出入相补原理都是刘徽以前中国传统数学中惯用的方法。当然，这不排除刘徽在引用这些方法时做了加工、提高，使之更具理论性。

其次，刘徽《九章筭术注》中凡以周三径一为基础的论述，都是“采其所见”者，而不是刘徽的创造。《九章筭术》涉及圆的内容，从术文、题设到答案，都在实际上使用周三径一之率，无一例外。刘歆、张衡等试图求出新的圆周率，成绩都不佳，因为他们没有找到正确的方法。更多的人则沿袭周三径一之率。刘徽尖锐地批评道：“世传此法，莫肯精核。学者踵古，习其谬失。”[10]在商功章注中更明确指出：“此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。”[10]他在中国首创了求圆周率的科学方法，并用自己求出的圆周率值修正了《九章筭术》中所有与圆有关的面积、体积公式。可见，刘徽是坚决反对使用周三径一的。然而，关于与圆有关的面积、体积公式的刘徽注中都有以周三径一为基础的论述（通常在有关术文的修正或证明之前），显然，这类论述不可能是刘徽的创造，而是“采其所见”者。特别，刘徽在开始反驳《九章筭术》开立圆术前记述的开立圆术的推导过程，不是他的模拟，而是刘徽之前在数学界流行的方法。

再者，齐同原理也不是刘徽的首创，而是“采其所见”者。赵爽的《周髀筭经注》多次使用齐同术。如赵爽注“牵牛去北极术”时，两次用到齐同术，如：“里、步皆以周天之分为母，求度当齐同法实等，故乘以散之。”可见刘徽注中的齐同术及与其有关的三种等量变换“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”[10]，都是数学界共有的知识。当然，赵爽应用齐同术，仅限于分数运算，刘徽尽管也是在分数运算中引入齐同术，他却将齐同术推广到关于率的运算中，不仅大大扩展了齐同术的应用范围，而且提高了《九章筭术》的算法的理论水平。刘徽对某些问题，经常提出两种不同的齐同方式。这两种方式都是刘徽的创造，或者都是“采其所见”，或者一为“采其所见”，一为自己的创造，由于资料太少，缺少必要的参照物，难以给出确切的回答。笔者倾向于后者。

《筭数书》释文的公布，为刘徽《九章筭术注》中有“采其所见”者，提供了新的佐证。《九章筭术》进行除数为分数的除法运算时，都是应用齐同术，使分母相同，分子相齐，将分子相除得到答案：。刘徽注使用除数颠倒相乘法：。数学史界过去都认为这是刘徽的一个创造。实际上，《筭数书》“启从”条“求从术”就使用了颠倒相乘法：

求从术曰：广分子乘积分母为法，积分子乘广分母为实，实如法一步。[14]

刘徽分数除法中的颠倒相乘法显然不是自己的创造，而是“采其所见”者。

综上所述，刘徽《九章筭术注》中有“采其所见”者，是一个不争的客观事实。有的学者认为出入相补原理是刘徽的“首创”，不承认刘徽注中有“采其所见”者，便将这四个字用现代汉语翻译为“就提出自己的见解”[15]。只要稍微有点古汉语常识就会发现，这种翻译与愿意相去实在太远，是为了自圆其说而曲解古文。这种强古人以就我的态度是不足取的。

认识刘徽注中既有自己的数学创造，也有“采其所见”者，意义特别重大。我们只提出三点：

首先，这可以填补《九章筭术》到刘徽之间的数学空白，特别是《九章筭术》成书时代关于论证的探讨。众所周知，从张苍、耿寿昌编订《九章筭术》到刘徽，有三四百年的时间，从先秦算起，则更长了。这期间出现了许多数学著作，其中包括对《九章筭术》的注释，但是全部亡佚。刘徽注中的“采其所见”者，显然可以在某种程度上填补这个空白。更值得重视的是，刘徽注的某些内容可以追朔到《九章筭术》成书的时代，上面谈到的棊验法实际上是《九章筭术》和《筭数书》时代推导多面体体积公式的方法。

其次，可以使我们准确认识刘徽的光辉形象。从上面的引述可以看出，在刘徽注中，既根本否定周三径一，又大量使用周三径一；既说使用棊验法证明多面体体积公式“则难为之矣”[10]，又在每一个多面体体积公式的注解中记有棊验法。如果这都反映了刘徽的思想，那么刘徽就是一个成就极大，而思想混乱、逻辑矛盾的人。而根据刘徽自述，使用周三径一和棊验法等部分，是《九章筭术》时代沿袭下来的方法，刘徽只不过“采其所见”，写入自己的注中，并不反映刘徽的思想，那么，刘徽就是一位成就辉煌、头脑明晰、逻辑高超的伟大数学家。

再次，对校勘《九章筭术》，尤其是纠正戴震等人的错校，意义重大。我们知道，所谓《九章筭术》的校勘，实际上主要是对刘徽注的校勘。这是因为各版本的《九章筭术》本文错讹极少，大量的衍脱舛误发生在刘徽注中。而且，对刘徽注的校勘做好了，李淳风等注释中的校勘大多可以迎刃而解。戴震对《九章筭术》的校勘贡献极大，然而篡改不误原文的现象也十分严重。其中一个重要方面是将大量刘徽注改篡为李淳风等注释。这些改篡从18世纪70年代一直沿袭到20世纪80年代。戴震等人实际上是认为，现存《九章》注所反映的思想，不是刘徽的，就必定是李淳风等的，不是李淳风等的，就必定是刘徽的。因此，戴震发现刘徽注中有思路不一致的地方，就判定第一段是刘徽的，而将第二段改成李淳风注。这类情况尤以卷六最多。汇校《九章筭术》[16]纠正了戴震的这类错误。校证本[17]又恢复戴震错校，除了重复戴震的话之外，没有新的证据。戴震与校证本的看法是完全错误的。以均输章“程传委输”问为例：

今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五日三返。问：太仓去上林几何？

《九章筭术》的解法是：

术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之，为实。实如法得一里。

刘徽注共分为三段。其第三段是：

按：此术重往轻还，一输再还道。置空行一里，七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齐而同之，空、重行一里之路往返用一百七十五分日之六。完言之者，一百七十五里之路往返用六日。故“并空、重”者，并齐也；“空、重相乘”者，同其母也。于今有术，五日为所有数，一百七十五为所求率，六为所有率。以此所得，则三返之路。今求一返者，当以三约之，故令乘法而并除，亦当约之也。[10]

戴震按：“自按此术‘重往轻还’以下，应是李淳风等所释，讹为刘注。”[18][19]并未说出任何理由，却在后来的版本中径改为李淳风等注释[20][21]。汇校本纠正了戴震的误改。校证本说戴震校补“臣淳风等谨”五字“甚是”，并说：“此题刘注只略云‘此亦如上术’而不复述。下段李注则重述刘徽于‘均赋粟术’中那段注文以说其详。”在这里校证本是先肯定这段文字是李注，然后说明这段“李注”的用意，并未说明这段文字为什么不是刘注，便说“考其究竟便知郭说误断”。这真是强词夺理。犹如某乙偷了某甲一根木料，用于盖自己的房子，引起官司。法官看了乙家的房子后说：“这根木料用在这很合适，可见某甲告讼无理！”法官都如此，天下岂不大乱！如果以戴震与校证本的这种态度校勘《九章筭术》，不知还得有多少条刘徽注被迫改姓李！那么，“考其究竟”应该怎样呢？我们看看刘徽关于凫雁类问题的注解。均输章凫雁问是：

今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问：何日相逢？

刘徽指出，凫雁类问题，“齐同有二术焉”：一是同其日，齐其至；一是同其南北海距离之分，齐其日行。后者是：

一曰：凫飞日行七分至之一，雁飞日行九分至之一。齐而同之，凫飞定日行六十三分至之九，雁飞定日行六十三分至之七。是为南北相去六十三分，凫日行九分，雁日行七分也。并凫、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。[10]

不言而喻，“程传委输”问第三段的思路与方法与此完全一致，其为刘徽注本无可疑[22]。考其究竟，戴震等人将“乘传委输”刘徽注第三段改为李淳风等注释的原因，除了对校勘学上的某些原则问题认识偏颇外，就是没有认识到刘徽注有“采其所见”者。

综上所述，我一直主张尊重原始文献，但是对原始文献不能盲从，得具体分析，特别是应该放在当时社会背景下分析。应当指出，我的这种做法是受到钱老的深刻影响的。在中国数学史界是钱老首先试图把很多问题放到社会背景下，考虑数学发展和当时社会经济、政治思想的关系。尽管我不同意钱老对秦九韶的人品的评价，但是我的方法却得益于钱老。

耽误大家好多时间，有什么不对的地方，还请批评指正。谢谢大家。

主持人：感谢郭老师给我们讲了非常精彩的课，他结合自己的研究案例，强调了从原始文献出发进行研究的重要性。此外，如何引用大量的社会、历史等方面的文献，来分析和辩证我们找到的一些原始材料，这对我们未来的研究很有好处。

问题一：我提一个好像是科学史之外的问题，在您事业刚刚起步的时候，您是如何获得家人的理解和支持的？

郭书春：家庭对我很支持，那个时候一个月56块钱好多年，物价慢慢地在涨。有件事我至今记忆忧新。1982年，我大哥来北京，我们领着孩子到颐和园去玩，那时的蛋卷两毛五一块，刚出来不久，她要，我没给她买，她很不高兴。85年前我们家里没有电视，我女儿在学校里同学关系挺好，同学在一起玩，谈什么都可以，但是一谈头天晚上的电视节目，她就傻了。我心里也很难受。她大学毕业的时候，我跟她谈起这些事，也说到为什么当时坚持不搞科普，她说：“爸爸当时那种做法是对的，我理解。不那么做，也不会有现在的成绩。”

“文革”对其他单位，比如中国科学院的科研工作是冲击、干扰，但哲学社会科学部（今中国社会科学院）则是完全停止业务工作。马列的著作还是九届二中全会上毛泽东说“中国懂马列的不多”之后才可以读，在那之前只能读《毛选》。我们拿出恩格斯的《自然辩证法》来读，“工宣队”的工人看到了，训斥道：“你们还读自然啊！”1975年国务院科教组发了文件，哲学社会科学部才恢复业务工作。我们这一辈子耽误得太苦了。搞科普比较容易，名利双收也比较快，但那耽误时间太多，必然分散搞科研的精力和时间。刚才我讲过，我并不反对学者搞科普，作为一个科研工作者主要的精力放在科研上的同时，将自己的真知灼见介绍给广大民众是应该的。搞科普也是我们的一个任务。我的书大都被重印过，但重印的最多的还是为中学教师和高中生写的那本《中国古代数学》，在海峡两岸修订、重印了六次，所以群众还是欢迎的。在一段时间内不搞科普，这是针对我个人的特殊情况而言的。

提问二：您能够和西方的数学对照一下，评价一下他们之间的优劣。

郭书春：从《九章筭术》成书到14世纪初这1700多年，应该是中国属于领先地位的，但是和国外比比较危险，因为我们对国外的第一手资料了解得太少，动不动就说中国这个第一，中国那个第一，是不好的，搞不好就会用一些错误的东西。直到20世纪90年代权威的报刊上还有答案为莱布尼兹受《周易》影响发明二进制的知识竞赛题，真是笑话。

我希望各位外文比较好的多看一下国外的文献，我实在不敢讲得太多，我讲的还是钱老过去的东西。我的书中这几年越来越不敢比较。

提问三：您刚才提到秦九韶的数学成就和他的人品，从外史的因素来研究他的学术。没有一个很好的办法，把一个人当成一个整体，一个数学家，一个天文学家？

郭书春：我对天文没有研究。我觉得研究一个人，应该考虑他的社会背景。对一个科学家要有一个定位，搞清楚他在中国数学史、天文学史占什么地位。因为数学成就大，人品就高，我觉得不一定。我是看了秦九韶的《数书九章·序》，特别是九段系文之后，感到和刘克庄讲的反差太大，才考虑这个问题的。2000年我在台湾新竹清华大学作《重新品评秦九韶》的报告时，有人问：你考虑这个问题，与大陆的“文革”有没有关系？我说：肯定有。如果不经历“文革”，没有看到那么多冤假错案，也许不会想到这个问题。

提问四：提一个老生常谈的问题。我们通过中国古代数学成就的描述，大概可以勾勒中国古代数学发展的脉络，有高潮，也有低谷。这种发展可能与中国古代政治、经济等方面的发展不完全同步。你是怎么看待这个问题？

郭书春：我比较关心的是一次新的社会变革给数学的发展带来的机遇。这个问题讲清楚很困难。数学的发展和盛世不一定同步。人们对唐朝评价很高，有贞观之治，但是唐代的数学很落后。我认为中国古代数学有三个高潮：第一个是春秋战国到西汉，《九章筭术》在西汉成书是这个高潮的总结，《九章筭术》主体是在战国时期完成的；第二个高潮是魏、晋、南北朝，以刘徽、祖冲之为代表，但祖冲之的《缀术》丢了，其成就我们并不完全了解；第三个是宋元，这是大家都知道的。这三个高潮都发生在中国社会发生某种大的变革之后。当然关于中国社会的分期，史学界还有争论。不管各种分期有什么不同，大家都同意春秋战国、魏晋和宋初这三个关节点都发生或完成了社会制度、生产关系的某种变革，其区别就是把这种变革看得大还是小，有的说这是三个大的关节点，也有的说只是大的关节中一个小的阶段。

我是觉得这种社会变革给数学的发展带来了活力，但是到底怎样对数学的发展起作用，目前还是两层皮，没有史料。另外，在这个时候，儒家的统治地位都不是很强的，春秋战国时期儒家虽然是显学，但只是争鸣的诸家之一。到汉末之后，天下大乱，儒家经学那套繁琐的东西无法适应瞬息万变的时势而受冷落，知识界盛行以谈三玄（《周易》《老子》《庄子》）为主的辩难之风，就是“析理”。两汉的思想界的抽象思维能力很低，比战国差远了，包括张衡在内，两汉的哲学家多是形象思维。魏晋人们的抽象思维能力很强，甚至超过战国。刘徽深受辩难之风的影响。

从数学史来讲，这三个关节点正是发生三个数学高潮的时候。而在盛世，统治阶级大都把儒家那套搬出来，把人们的智力资源引导到读经入仕，或者粉饰歌舞升平的诗词歌赋上。数学反而往往落后。我这是从宏观分析上得出这么个观点。

明朝数学很落后，这时中国封建社会到了晚期，技术上还在继续发展，但在科学上气数已尽。明朝的思想禁锢比较厉害，我对明朝的看法相当不好。我认为，思想宽松，人们有自由的想象空间，这是数学发展的一个必要条件。

提问五：您搞数学史研究，把有些所谓的贫矿变成了富矿。你觉得现在还有哪些是富矿？而哪些又成了贫矿，不用再搞了？

郭书春：从整个中国数学史来讲当然还可以搞的是很多的。不过这个工作现在很难做，如果要做透了，最好翻译一部书，因为翻译和写论文不一样，写论文可以扬长避短，我不懂这句话我可以不写。但是搞翻译得每个字都要看懂。在现在的考核机制下这是不好做的。我常讲一句笑话：我们是计划经济下自由研究，你们是市场经济下计划研究。你们现在没有条件像我过去那样。每一年要你发表多少论文，每年都要根据年初的计划考核。(www.xing528.com)

80年代我对《九章筭术》的版本和校勘花了极大的工夫。做完了，才知道问题那么多，那么严重。开始进行版本校雠时并不知道有多少问题。我认为基础科学是需要自由研究的。年初就把这一年要写几篇论文，什么题目都规划好了，那是农民盖房子的做法。我今年要盖房子，盖的房子不能垮，这是起码的要求。搞基础研究就要允许失败，失败了100次，第101次成功了，就是大胜利。但是现在不允许你失败100次，失败两次也不行。

提问六：因为我刚进入数学史，觉得题目都不是拿捏的很好，您在这方面有什么好的建议？

郭书春：我觉得很难讲，我觉得看书学习得有一个过程。我是主张做学问一开始要深，深了之后再博。我是主张先深，然后再展开。我个人开始其实也是你现在这个情况。我在20世纪70年代末，是非常苦恼的。但是有了对刘徽的割圆术的突破，后来又搞了刘徽原理，接着探讨“率”的问题。将“率”作为一个课题来研究在我之前没有过，在读刘徽《九章筭术注》时我发现刘徽说率是“算之纲纪”。你们看到“纲纪”两个字可能不太敏感，我们当时前不久还天天讲“以阶级斗争为纲”，所以对“纲纪”很敏感。为了搞清刘徽为什么把率看成纲纪，就一个题目一个题目去搞。以后又搞刘徽的逻辑思想，《九章筭术》的版本和校勘，等等，还思考了许多问题。搞了4、5年之后，我觉得想到的题目做不过来了。我当研究员之后写的许多文章，其论点、论据在1986年以前当助研的时候就都有了，但当时没有时间写。我觉得过几年之后，你们也可能会到这个地步，当然这是一个过程。

刚开始不知道怎么下手，要多看一些书，搞深一点。肤浅的东西可以写很多，但是留下的印记有多少，20年之后，还会有影响吗？你们有这种好的学习条件，我觉得要抓紧时间，搞深点。我是没有学位的，只是大学本科。中国数学史学科没有学位的很少，我是一个，梅荣照是一个，比我年轻的全有硕士、博士学位。我受命主编《中华大典·数学典》，前年底召开编委会，我环视左右说：“我们的班子很强，除了鄙人之外，全都是硕士、博士。”我没有导师，干什么都是自己摸索，更要给自己提出比较高的要求，不要浮躁。

提问七：您说您没有什么必要，我们要达到一个程度，去参加这个会，因为现在可能学术的会比较繁荣吧？

郭书春：现在的会比过去多多了，我们那时的会比较少，那时的学术经费比现在少多了，但还感到宽松。只要你参加会，就有经费，但是不多。根据你的级别可以坐飞机或火车。

提问八：中国一直说，历算不分家。

郭书春：是这样。《九章筭术》没有历法问题，却是制定历法必须要用到的数学方法。秦九韶的范围相当宽，谈历法的基本上是有几个，秦九韶最多。

提问九：我们从古代的原始文献来研究，可是如果看不懂原始文献怎么办？

郭书春：这个没好办法，就得查字典，看古汉语知识的基本读物，我过去看的是王力的《古代汉语》，作为文科的一个教材。我是搞校勘的，一开始也不懂，后来只好找关于校勘的书来看，理科毕业的学生文史知识先天不足，只好补课，字典不能离。

提问十：郭先生，您说的明朝社会情况跟数学发展在理论上发展水平不高有关。有没有比较的直接的一个例子？

郭书春：这是很难找到的。徐光启讲了明朝数学落后的两个原因。在明朝，宋元的数学成就看不懂，而且汉唐宋元的数学著作除了《周髀筭经》《数术记遗》之外，不仅没有刊印过，而且大都失传。

我是从宏观上来看的，当时有理学和心学统治。思想禁锢太厉害了是不利于数学发展的。中国数学发展快的时候大都不在封建盛世，甚至在乱世，这丝毫不意味着乱世或分裂有利于数学发展。但是乱世的时候儒家统治被削弱，思想比较自由，反而会促进数学的发展。我曾经讲过，不管多么好的思想，如果成为统治思想后不容许其他思想流派的存在，不能自由讨论问题的话，那么它所起的坏作用，恐怕要比正面影响大。儒家本身是一个很好的思想，我们中国得益于儒家思想很多。如果没有儒家思想，就没有一个统一的中国文化能传承下来。但是当它被统治者奉为统治思想，不允许任何异端思想存在的时候，对数学发展所起的作用恐怕就得另当别论了。

主持人：谢谢郭老师的演讲和大家的讨论。

参考文献

[1]郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷，5册.郑州：河南教育出版社，1993.

[2][法]K.Chemla（林力娜）和[中]郭书春.中法对照本九章算术（LES NEUF CHAPITRES：Le Classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires）.巴黎Dunod出版社.2004，2005.

[3]郭书春、刘钝.李俨钱宝琮科学史全集前言.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[4]郭书春.祖冲之科学著作校释后记.严敦杰.祖冲之科学著作校释.沈阳：辽宁教育出版社，2000.*再整理本.济南：山东科学技术出版社，2017.

[5]郭书春.以刘徽的精神研究刘徽（代后记）.古代世界数学泰斗刘徽.济南：山东科学技术出版社，1992.台北：明文书局，1995.*再修订本.济南：山东科学技术出版社，2013.

[6]郭书春.刘徽的极限理论.在第一届中国科学技术史年会（1980.10，北京）上的报告.科学史集刊（11）.北京：地质出版社，1984.

[7]郭书春.刘徽的面积理论.辽宁师范学院学报.1983，1.

[8]李俨.中国数学大纲（上）.北京：科学出版社，1958.郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（3）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[9]钱宝琮主编.中国数学史.北京：科学出版社，1964.郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（5）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[10]郭书春.汇校《九章筭术》增补版.沈阳：辽宁教育出版社，台北：九章出版社，2004.*郭书春汇校.九章筭术新校.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

[11]严敦杰.刘徽简传.科学史集刊（11）.北京：地质出版社，1984.

[12][三国]赵爽.周髀算经注.刘钝、郭书春点校.周髀算经.郭书春、刘钝点校.算经十书.沈阳：辽宁教育出版社，1998.繁体修订本.台北：九章出版社，1995.

[13]郭书春.古代世界数学泰斗刘徽.济南：山东科学技术出版社，1992.再修订本，2013.繁体修订本.台北：明文书局，1995.*再修订本.济南：山东科学技术出版社，2013.

[14]郭书春.《筭数书》校勘.中国科技史料.2001，22（3）.

[15]沈康身.《九章算术》导读.武汉：湖北教育出版社，1996.

[16]九章算术.郭书春汇校.沈阳：辽宁教育出版社，1990.

[17]李继闵.九章算术校证.西安：陕西科学技术出版社，1993.

[18]九章算术.清武英殿聚珍版丛书本.据《永乐大典》的戴震辑录校勘本的副本摆印.1774.后乾隆命馆臣修订过，今藏南京博物院.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）影印.郑州：河南教育出版社，1993.

[19]九章算术.清四库全书文渊阁本.台北：商务印书馆，1986.

[20]九章算术.清屈曾发刻豫簪堂本，1776.

[21]九章算术.清孔继涵刻微波榭《算经十书》本.1777年或其后.

[22]郭书春.再论《九章筭术》的校勘.汉学研究（台北）.1998，16（1）.汇校《九章筭术》增补版·附录三，2004.*郭书春汇校.九章筭术新校·附录三.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

【注释】

[1]中国科学院和法国国家科学研究中心（CNRS）在1982年决定将K.Chemla（林力娜）和郭书春合作研究翻译《九章算术》的工作列入中法科学合作协议。中法对照本《九章算术》于2004年在巴黎出版，次年法国驻华大使馆和中国科学院联合举行了发布会，2006年获法兰西学士院平山郁夫奖。*2018年入选中国改革开放40周年引才引智成果展。

[2]在重新整理本文时，接梅先生夫人马雪娥大夫的越洋电话，告知不幸的消息：梅先生于2015年8月24日在加拿大伦敦逝世，享年80岁。特志此，并致哀悼。

[3]讲演此下本来阐述了刘徽注的方法，此处删去，请参见本文集的《刘徽的极限理论》或拙作《古代世界数学泰斗刘徽》。

[4]笔者2000年9月访问台湾师范大学数学系，从洪万生教授处知道D.B.Wagner（华道安）在1978年先于笔者涉及到这个问题。笔者立即向华道安索来文章：D.B.Wagner.Doubts Concerning the Attribution of Liu Hui's Commentary on the Chiu-chang Shuanshu.Acta Orientalia.vol.39（1978）.遗憾的是，华道安只是提出论断，没有具体阐述。