天元式VS天元开方式

对天元式的表示也有一些模糊认识。应当指出，天元式主要是指含有“天元”的多项式或单项式，而不是指开方式。许多数学史著述将开方式也称为天元式，甚至称为“天元开方式”，说“‘天元开方式’就是一元高次方程”，说“现今代数学的一元高次方程a1xn+a2xn-1+…+an=0，古代写为

这是不恰当的。这是两个天元多项式，而不是开方式。一般说来，在天元术中，经过如积相消，得出的开方式不再标以“太”或“元”。如《测圆海镜》卷三第5问之“草”的开方式即表示成（用阿拉伯数字代替筹式数字，下同）：

1

-336

4 184

2 488 320[5]

它表示三次方程

x3-336x2+4 184x+2 488 320=0。

有的学者在引用这个开方式时在“4 184”后加了个“元”字[7]，是上述误解所致。

《益古演段》第6问：

24 057

0[8]

-825

表示二次方程

-8.25x2+24 057=0。(www.xing528.com)

但是，现传《测圆海镜》中也有少数的题目，在如积相消后得出的式子中仍标以“元”，如卷三第2问“法”之“草”中便有

相消得元，以平方开之……。[5]

其中的式子亦表示方程

-x2-80x+76 800=0。

这种情形相当少，而《益古演段》及其之后再没有这种表示。因此即使清刻本没有讹误，这也是天元术发展过程中的一种现象，不具有普遍性。当然，并不能排除清刻本误加“元”字的可能性，在对这个问题认识模糊的情况下，这种讹误极易发生，正如20世纪许多作者在引用李冶的开方式时常在未知数的一次项旁衍一“元”字一样。无论如何，作为成熟的天元术，“如积相消”得出的开方式是不出现“元”字的，与天元式是有区别的。有人说“李冶的天元式，既可表示方程，又可表示多项式。从形式看，两者并无区别”[12][13]，当然是不妥当的。

有时即使在天元式中也不标出“元”字或“太”字。如《益古演段》卷中第39问有一天元式是

3 780

228

1[8]

表示多项式x2+228x+3 780。

《筭学启蒙》[14]中所有的天元式都不标出“太”或“元”字。如卷下“开方释锁门”第31问有天元式：，及开方式，前四个天元式都没有标出“太”或“元”，它们依次是多项式x，x3，x+61，及3 721x3+122x4+x5。最后一个式子表示5次方程

x5+122x4+3 721x3-110 592=0。

还可以举出一些例子。