郭书春数学史自选集下册：大衍总数术与大衍求一术，哪个更优？

人们常把南宋数学家秦九韶《数书九章》求解一次同余方程组的方法称为“大衍求一术”。[2]实际上这是一个误解。我们先看看秦九韶的原话。他说：

大衍总数术曰：置诸问数：类名有四。一曰元数，谓尾位见单零者。本门揲蓍、酒息、斛粜、砌砖、失米之类是也。二曰收数，谓尾位见分厘者。假令冬至三百六十五日二十五刻，欲与甲子六十日为一会，而求积日之类。三曰通数，谓诸数各有分子母者。本门问一会积年是也。四曰复数。谓尾位见十或百及千以上者。本门筑堤并急足之类是也。元数者，先以两两连环求等，约奇弗约偶。或约得五而彼有十，乃约偶而弗约奇。或元数俱偶，约毕可存一位见偶。或皆约而犹有类数存，姑置之，俟与其他约遍而后乃与姑置者求等约之。或诸数皆不可尽类，则以诸元数命曰复数，以复数格入之。收数者，乃命尾位分厘作单零，以进所问之数，定位讫，用元数格入之。或如意立数为母，收进分厘，以从所问，用通数格入之。通数者，置问数，通分内子，互乘之，皆曰通数。求总等，不约一位，约众位，得各元法数，用元数格入之。或诸母数繁，就分从省通之者，皆不用元，各母仍求总等，存一位，约众位，亦各得元法数，亦用元数格入之。复数者，问数尾位见十以上者。以诸数求总等，存一位，约众位，始得元数。两两连环求等，约奇弗约偶，复乘偶；或约偶弗约奇，复乘奇。或彼此可约而犹有类数存者，又相减以求续等，以续等约彼，则必复乘此，乃得定数。所有元数、收数、通数三格，皆有复乘求定之理，悉可入之。

求定数，勿使两位见偶，勿使见一太多。见一多，则借用繁；不欲借，则任得一。以定相乘为衍母，以各定约衍母，各得衍数。或列各定为母于右行，各立天元一为子于左行，以母互乘子，亦得衍数。诸衍数，各满定母去之，不满曰奇。以奇与定，用大衍求一入之，以求乘率。或奇得一者，便为乘率。

大衍求一术云：置奇右上，定居右下，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商数与左上一相生，入左下。然后乃以右行上下以少除多，递互除之，所得商数，随即递互累乘，归左行上下，须使右上末后奇一而止。乃验左上所得，以为乘率。或奇数已见单一者，便为乘率。(www.xing528.com)

置各乘率，对乘衍数，得泛用。并泛，课衍母，多一者为正用。或泛多衍母倍数者，验元数，奇偶同类者，损其半倍，或三处同类，以三约衍母，于三处损之。各为正用数。或定母得一，而衍数同衍母者，为无用数。当验元数同类者，而正用至多处借之。以元数两位求等，以等约衍母为借数，以借数损有以益其无为正用。或数处无者，如意立数为母，约衍母，所得以如意子乘之，均借补之。或欲从省勿借，任之为空可也。然后其余各乘正用，为各总。并总，满衍母去之，不满为所求率数。[3]

很显然，秦九韶求解一次同余方程组的方法是“大衍总数术”，它包括四个部分：诸问数的定义，将不两两互素的问数化为两两互素的定数的程序，求乘率的程序即“大衍求一术”，求率数即答案的程序。“大衍求一术”只是其中的一部分，尽管是其相当重要的一部分，却不是一次同余方程组解法的全部。自清中叶以来许多推演秦九韶方法的著作^[1]及20世纪的数学史著述[4]大都将大衍求一术说成是秦九韶的一次同余方程组解法，是不恰当的。