刘徽割圆术插曲：《郭书春数学史自选集　下册》成果！

刘徽的割圆术是20世纪70年代末以前中国数学史中涉及最多的课题，但是都把割圆术看成只是求圆周率的程序，并说其中的极限过程也是为了求圆周率。这是十分偏颇的。实际上，刘徽的《九章筭术》圆田术注即割圆术首先是用极限思想证明《九章筭术》的圆田术“半周半径相乘得积步”，即圆面积公式S=Lr的。在完成这个公式的证明之后，刘徽指出，其中的周、径“谓至然之数，非周三径一之率也”，因此需要求这个“至然之数”，也就是圆周率。接着刘徽给出了求圆周率的详细程序，他从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，确定某个圆内接多边形的面积为圆面积的近似值之后，利用他刚刚证明过的《九章筭术》的圆面积公式，反求出圆周长的近似值，与直径2尺相约，便求出和两个圆周率近似值。刘徽对《九章筭术》圆面积公式的证明，论点明确，论据充分，逻辑严谨，没有任何费解之处，用现代数学术语和符号直译出来，就是一个很漂亮的证明。刘徽求圆周率的程序也非常详尽、清晰。实际上，求圆周率用不到极限过程，只是极限思想在近似计算中的应用[25][26][27]。但是，自20世纪10年代末到70年代末约60年间，所有涉及到这个问题的著述，由于忽视了刘徽首先在证明《九章筭术》的圆面积公式，所谈的求圆周率程序都以为是利用现今中学数学教科书中的圆面积公式S=πr2，这不仅背离了刘徽注，而且还会把刘徽置于他从未犯过的循环推理的错误境地。

不久海峡两岸、国内外的中国数学史界大都接受了我关于刘徽割圆术的看法。但是还是不断出现离开刘徽注，重复“文革”前错误的文章或送审稿件。某权威辞书第二版的中国数学史条目大都是交给我撰写修订的，不知为什么，关于割圆术的条目没有分到中国数学史类。2006年2月，该辞书的数学编辑寄来“割圆术”条释文，要我再看一下。我发现释文完全照抄70年代末以前的错误观点，遂对释文做了修改，去信附上《九章筭术》圆田术及其刘徽注的原文，并加注提示其中每一段的主题。11月，编辑同志寄来作者的修改稿，修改稿虽然写了一句刘徽证明圆面积公式，但后面的文字却还只是背离刘徽注的求圆周率方法，仍然没有写刘徽对圆面积公式的证明。我又做了修改，寄去。大概继续修改遇到阻力，使编辑同志非常为难，对我说：原释文已经过一位数学权威、几何类组长审定，不好大改。我当然也为难，这个释文不仅错误，而且与该辞书中国数学史的有关条目矛盾，与该辞书第一版相比，也是个倒退，遂向编辑同志提出，该辞书数学学科主编是不是还是吴文俊先生，如果是，能否请吴文俊先生定夺？编辑同志说，我一个小编辑，不敢到家中打搅吴先生。

此后不久，我与《中华大典》办公室、山东教育出版社商定，在12月26日召开《中华大典·数学典》编委会第一次会议，请吴先生莅临指导。随即将这个消息告诉编辑同志，并说，如果想拜访吴先生，此良机也。这天上午，编辑同志就割圆术问题请教了吴先生，圆满地解决了为难我们一年的问题。

参考文献

[1]钱宝琮主编：中国数学史.北京：科学出版社，1964年.《李俨钱宝琮科学史全集》，第5卷.沈阳：辽宁教育出版社，1998年.

[2]*郭书春主编：中国科学技术史·数学卷.北京：科学出版社，2010，2017.

[3]吴文俊：《海岛算经》古证探源.见：《吴文俊论数学机械化》.济南：山东教育出版社，1995年.

[4]九章算术，[西汉]张苍、耿寿昌编定，[魏]刘徽注，[唐]李淳风等注释，郭书春汇校.沈阳：辽宁教育出版社，1990年.

[5]汇校《九章筭术》增补版.沈阳：辽宁教育出版社，台北：九章出版社，2004年.

[6]九章算术，[清]戴震整理，1776年屈曾发刻于常熟豫簪堂，世称豫簪堂本.

[7]九章算术，[清]戴震整理，1777年或其后孔继涵刻于曲阜微波榭，世称微波榭本.

[8]九章筭经，[南宋]鲍澣之刻于1200年.存卷一至卷五，藏上海图书馆，是为世界上现存最早的印刷本书学著作.1980年文物出版社影印收入《宋刻算经六种》.

[9]九章筭经，[清]汲古阁主人毛扆1684年影钞南宋本.《天禄琳琅丛书》本，北京：故宫博物院，1932年.

[10]九章筭经，[明]1408年《永乐大典》分类抄录.现存卷16343，16344，含有《九章筭术》卷三后半卷及卷四的内容，藏英国剑桥大学.1960年收入中华书局影印的《永乐大典》.1993年影印收入郭书春主编《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第一册，河南教育出版社出版.

[11][南宋]杨辉：详解九章算法.该书含有[西汉]《九章算术》本文、[魏]刘徽注、[唐]李淳风等注释、[北宋]贾宪细草和杨辉详解五种内容.现存约三分之二，分别在《永乐大典》卷16343，16344及[清]郁松年1842年刻《宜稼堂丛书》本中.

[12]九章算术，《四库全书》本，根据[清]戴震的《永乐大典》辑录校勘本正本抄录，凡7部，分藏于文渊阁、文津阁等7家皇家书库.1986年台湾商务印书馆影印文渊阁本.*2006年北京商务印书馆影印其文津阁本.现已查明，文津阁本是根据戴震辑录校勘本的正本抄录，而文渊阁本与聚珍版的底本都是其副本.

[13]九章算术，《武英殿聚珍版丛书》本，根据[清]戴震的《永乐大典》辑录校勘本副本活字摆印.目前原本仅有少数几本藏国家图书馆等大图书馆中.另有乾隆御览本藏南京博物院，1993年影印收入《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第1册.大量所谓聚珍版《九章算术》都是福建影刻本或其翻刻本，根据李潢的校勘修改过.(www.xing528.com)

[14][清]李潢：九章算术细草图说.1820年鸿语堂刻本，1993年影印收入《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第4册.

[15]九章算术，钱宝琮校点.钱宝琮校点《算经十书》上册，北京：中华书局，1963年.收入《李俨钱宝琮科学史全集》第4卷.沈阳：辽宁教育出版社，1998年.

[16]*九章算术，福建光绪间补刊聚珍版，1893年.

[17]*九章算术，广州广雅书局刊聚珍版，1899年.

[18]*九章算术，上海光绪间庚寅年翻刻微波榭本，1900年.

[19]郭书春：评戴震对《九章算术》的校勘与整理.梅荣照主编：《明清数学史论文集》.南京：江苏教育出版社，1990年.*此文发排前被编者作了笔者不同意的改动，原文见本文集.

[20]吴文俊：汇校《九章算术序》.汇校《九章算术》.又见：《吴文俊论数学机械化》，济南：山东教育出版社，1995年.

[21]傅海伦：传统文化与数学机械化.北京：科学出版社，2003年.

[22]江陵张家山汉简概述.《文物》，1985年第1期.

[23]李学勤：中国数学史上的重大发现.《文物天地》，1985年第1期.

[24]江陵张家山汉简整理小组：江陵张家山汉简《算数书》释文.《文物》1990年第9期.

[25]郭书春：刘徽的极限理论，《科学史集刊》第11集，北京：地质出版社，1984年.

[26]郭书春：刘徽的面积理论，《辽宁师范学院学报（自）》，1983年第1期.

[27]郭书春：古代世界数学泰斗刘徽，济南：山东科学技术出版社，1992年.繁体字修订本，台北：明文书局，1995年.*再修订本，山东科学技术出版社，2013年.

【注释】

[1]根据2009年2月编委会的讨论意见，不对现代人关于古代科学家的画像批评，定稿中删去这段话。