中国传统数学与微积分的建立

①本文是笔者执笔的向第七届国际中国科学史会议（1996，深圳）提交的论文的第二部分，署名郭书春、宫珮珊，发表于《第七届国际中国科学史会议论文集》第217～220页。郑州：大象出版社，1999.8.

詹克明先生的《我国与诺贝尔奖无缘之我见》[1]一文指责我国古代对数学的发展“几乎交了白卷”，不顾起码的历史常识，美化西方黑暗的中世纪，笔者已另文澄清事实[2]。但《我见》在全面否定中国古代数学之后，意犹未尽，愤愤不平地说：“甚至对《几何原本》这样一部极为重要的科学著作，我们对它也沉默了近2000年。”又挖苦道：“很难想象，一个科学发达的国家会在近2000年中仅守着‘周三径一’等简单知识，而完全不懂欧氏几何。”古希腊欧几里得的《几何原本》以严格推理形成了一个公理化体系，历来受到学术界的推崇。《我见》高度评价欧氏几何，也无可厚非。《我见》说得也有道理，确实，如果2000年内只懂得“周三径一”，这样的国家当然不会是科学发达的国家。但这个命题与古代中国风马牛不相及，《我见》选错了指责的对象。然而，在东西方交流不发达的古代，不懂欧氏几何，并不妨碍这个国家成为科学发达的国家。本来，古代数学有公理化与算法化两种倾向。前者以欧氏几何为代表，后者以中国的《九章算术》为代表，两者东西辉映，是古代数学的两颗璀璨的明珠。以其中之一为惟一的存在否定另一种，说明否定者缺乏起码的数学史知识，也是逻辑混乱的表现。

许多人认为，变量数学只是在古希腊数学的基础上发展起来的，这实在是一种误解。诚然，文艺复兴时代，被欧洲人遗忘千余年的古希腊数学的复兴成为后来变量数学的重要基础。然而，只有古希腊数学及其推理模式，并不能发展出变量数学。以其开端解析几何为例，它是代数方法与几何学相结合的产物，而古希腊数学注重几何学研究，忽视算法研究。如果没有包括中国数学在内的东方数学传入，刺激了文艺复兴时代欧洲代数学的发展，笛卡儿（Descartes，1596—1650）、费尔玛（Fermat，1601—1665）怎么可能用代数方法解决几何问题，创立解析几何学呢？而且，用代数方法解几何问题，正是中国古代数学的特点之一，吴文俊先生高度评价中国古代数学的这一特点及其与解析几何思想的一致性。[3]

再看微积分学的产生，史密斯（Smith）[4]认为微积分的发展有四个主要步骤。第一步在于用穷竭法从可公度的量过渡到不可公度的量。第二步是无穷小方法，西方在17世纪开卜勒（Kepler，1571—1630）与卡瓦列利（Cavalieri，1598—1647）的著作中才受到重视。第三步是牛顿（Newton，1642—1727）的流数法。第四步是极限，也要归功于牛顿。这四个步骤是正确的，但科学史家将这四个步骤与中国联系时却常有偏颇。他们一般认为中国与古希腊一样只作到了第一步，而实际上，刘徽不仅完成了第一步，也完成了第二步。他在证明《九章算术》的圆面积公式时，首先证明了圆内接正多边形面积序列的极限是圆面积，然后将极限状态（即刘徽说的“与圆周合体”而“不可割”）的正多边形分割成无穷多个小三角形，求其面积之和，即完成证明。刘徽的方法已经接近微积分产生前的面积元素法，并且明确使用了极限。[5]刘徽用无穷小分割方法对《九章算术》四面体体积公式的证明更加高明，他把自己的体积理论完全建立在无穷小分割基础之上，实际上已经深入到高斯关于多面体体积的猜想及希尔伯特（Hilbert，1862—1943）第三问题（1900），与现代数学的体积理论完全一致。[5]微积分学的产生有四个动因[6]：已知物体运动距离用时间表示的函数，求其在任意时刻的速度和加速度，或其逆问题；由透镜的设计以及讨论运动物体在任意一点的运行方向引发的求曲线的切线问题；由讨论炮弹最大射程的发射角及行星运动引发的函数的最大值最小值问题；由计算行星在已知时间内移动的距离引发的求曲线长的问题，求物体重心，及行星等体积相当大的物体对另外物体的引力，等等。就是说，用数学方法解决运动学、光学等研究中提出的问题，导致了微积分学的产生。而用数学方法解决实际问题，数学理论密切联系实际，正是中国和东方的数学传统[7][8]，而不是古希腊数学的传统，古希腊数学家把数学看成纯精神的活动，鄙视数学的任何实际应用。显然，如果16、17世纪的欧洲数学家恪守古希腊对数学的认识与做法的话，永远跨不进微积分学的大门。以中国数学为其源头和重要组成部分的东方数学，包括数学方法与用数学方法解决实际问题的传统传到欧洲，与古希腊数学相结合，导致数学家们数学观的改变，才开辟了欧洲数学繁荣并通向微积分的道路。

人们还常常把微积分学看成古希腊数学严密推理模式的产物。这也是一种误解。实际上，17世纪为微积分作出贡献的大多数数学家卡瓦列利、费尔玛、帕斯卡（Pascal，1623—1662）、巴罗（Barrow，1630—1677）等，并不关心严密化问题，才向微积分学迈出了脚步。卡瓦列利在回答重视逻辑严密性的人们的责难时说：“严密是哲学所关心的，而不是几何所关心的事情。”[6]微积分的创造者牛顿、莱布尼茨（Leibniz，1646—1716）都没有清楚理解也没有定义微积分的基本概念。[6][9]牛顿在《分析》中设o是时间的无穷小增量，x，y的增量分别是xo与yo，并且宣称，“既然假定o是无限微小，那么，它就可以代表量的瞬，与它相乘的诸项对于其余诸项来说就等于没有”。但是这样就使自己陷入进退两难的困境。后来，在《曲线求积法》中他试图建立没有无穷小的微积分，而代之以基本的和最终的比。然而这种作法也不能令人满意，从而遭到更激烈的批评。[9]莱布尼茨的方法与牛顿有所不同，但也没有把微积分的基本概念弄明白。他说：“考虑这样一种无穷小量将是有用的，当寻找它们的比时，不把它们当作零，但是只要它们和无法相比的大量一起出现，就把它们舍弃。”[6]显然，他们都没有把微积分学建立在稳固的严密的基础之上。实际上，在两个世纪后极限论建立之前，谁也说不清楚，为什么舍弃无穷小是合理的。不难想象，牛顿、莱布尼茨及他们的前辈们如果恪守古希腊几何学推理严密化的规范的话，是不可能建立微积分的。事实上，在微积分建立后，正是受古希腊几何学束缚的数学家们怀疑微积分学的全部工作。[9]我们反对说中国传统数学没有理论的错误看法，但是中国数学家们对许多数学理论问题确实没有像古希腊那样做深入研究，例如，没有讨论正方形的对角线与边长（即与1）有没有公度的问题，从而导致古希腊那样将计算排除于数学的转向，刘徽便在开方不尽时提出继续开方，求其微数，以十进分数表示无理根的近似值；又如，没有陷入潜无穷小与实无穷小的争论，从而导致把无穷分割排除于数学的结局，认为无限分割圆内接正多边形，最终必定会“至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”；无限分割锥体，最终必定会“微则无形”；因此敢于进行无穷小分割并将极限过程进行到底[5]。应该说，微积分学创造者的思想与这种思想颇为相近。

不可否认古希腊数学的重新发现、复兴对解析几何、微积分的产生的巨大意义，也没有证据表明刘徽的工作传到了西方。我们只是说，解析几何学、微积分学是在古希腊几何学与包括中国数学在内的东方代数学相结合的基础上发展起来的，而导致这种发展的，数学应用于解决实际问题的思想及其推理模式，与中国古代数学家是相通的。因此，变量数学没有在中国产生的原因不在数学的内部，而在于数学的外部。因为现在没有得诺贝尔奖而指责中国古代数学，是没有道理的。对中国古代数学有一个正确的认识和态度，对改变我国数学的落后局面，争取在下一世纪重新成为数学大国，是十分有意义的。

参考文献

[1]詹克明.我国与诺贝尔奖无缘之我见.中国科学报.1995-11-03，11-06.

[2]郭书春，宫佩珊.应冷静客观地看待祖先的成就.中国科学报.1996-01-29，01-31.(www.xing528.com)

[3]吴文俊.吴文俊文集.济南：山东教育出版社，1986.

[4][美]Smith.History of Mathematics，vol.2，1925，Ginn，New York.

[5]郭书春.古代世界数学泰斗刘徽.济南：山东科学技术出版社，1992.台北明文书局，1995.*再修订本.山东科学技术出版社，2013.

[6][美]克莱因.古今数学思想，第二册.上海：上海科学技术出版社，1979.

[7]钱宝琮.中国数学史.北京：科学出版社，1964，1981，1993.*郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（5）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[8]郭书春.中国古代数学.济南：山东教育出版社，1991.台北：商务印书馆，1994，1995.增补本，1997，2004.*增补修订本，2009，2010.

[9][英]斯科特.数学史.北京：商务印书馆，1981.