中国传统数学术的起源及发展概述

传统数学著作的术文中没有推导与证明。数学著作中的术是怎样得来的，是人们经常思索的问题。而“术”既有方法的含义，又有方术的意思。后者往往导向神秘主义。而人们在科学创造发明中的“可意会，不可言传”的悟性，也使人们很难划分逻辑思维与悟性的界限。某些学科，比如中医学，除了经验的积累外，悟性在其中起了相当大的作用。因此，有人试图用悟性、非逻辑性来解释中国传统数学的术的来源。不可否认，数学创造中有悟性，有非逻辑性的因素。不仅现在有，古代也有。比如刘徽认识到必须借助于刘徽原理才能证明《九章算术》提出的阳马与鳖腝的体积公式，并且认识到，用棊验法无法证明刘徽原理时，应该说，是天才的悟性导致刘徽创造性地用无穷小分割方法来证明刘徽原理的。但是，把《九章算术》的大部分公式或算法看成非逻辑的、悟性的产物，则是不符合事实的。

我们认为，现传数学著作中没有推导与证明，并不等于说人们在创造数学著作所载的成果时根本没有推导或证明。我们所看到的数学著作，是数学研究的成果，没有反映数学研究的过程，也不可能包括其全部内容。《九章算术》的许多公式、解法相当复杂，不是悟性或非逻辑的思维可以得出的。在得出这些公式、解法时，必定有或低或高、或粗糙或严谨的某种程度的推导。刘徽的《九章算术注》透露了这方面的信息。笔者已经指出，根据刘徽自述以及对其内容的深入分析，刘徽《九章算术注》可以分成“采其所见”者和“悟其意”者两部分。所谓“悟其意”者，是刘徽自己的数学创造；而“采其所见”者，是他前人或同代人的数学工作[16]。我们进而认为，其中有些内容，是《九章算术》成书时的工作。仍以《九章算术》“商功章”刍童术为例。刍童术用现代符号写出就是：

显然，这么复杂的公式，仅凭悟性或直觉是难以得出的。而且，凭悟性或直觉最可能得到的是以下错误的公式：

而不会是上述公式（1）。那么，公式（1）是怎么得来的呢？刘徽的刍童术注向我们透露了信息。刘徽的刍童术注分三段，其中第二、三段是他自己的创造，而第一段是采自他人的。刘徽说：

按：此术假令刍童上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺。其用棊也，中央立方二，四面堑堵六，四角阳马四。倍下袤为八，上袤从之，为十。以高、广乘之，得积三十尺。是为得中央立方各三，两端堑堵各四，两旁堑堵各六，四角阳马亦各六。后倍上袤，下袤从之，为八。以高、广乘之，得积八尺。是为得中央立方亦各三，两端堑堵各二。并两旁，三品棊皆一而为六，故六而一，即得。[13]

（1）标准刍童分解为三品棊

就是说：取一种标准刍童：上宽a2=1尺，长b2=2尺，下宽a1=3尺，长b1=4尺，高h=1尺，它可以分解为2个正方体，2个端堑堵，4个旁堑堵，4个阳马，其长、宽、高均为1尺，如图（1）。接着设计了两个长方体：一个以2b1+b2=10尺为长，以a1=3尺为宽，h=1尺为高，含有6个正方体，8个端堑堵，24个旁堑堵，24个阳马，如图（2）；一个以2b2+b1=8尺为长，以a2=1尺为宽，h=1尺为高，它含有6个正方体，4个端堑堵，如图（3）。这两个长方体合起来，共12个正方体，12个端堑堵，24个旁堑堵，24个阳马。与原标准刍童比较起来，其正方体、端堑堵、旁堑堵、阳马，每一个都变成了6个。故取这两个长方体体积之和，除以6，便是一个标准刍童的体积[18]。换言之，取6个标准的刍童，将其分解为正方体、堑堵、阳马这三品棊，将其重新组合，可形成上述两个长方体。这就是所谓用棊验法验证刍童体积公式。

（2）体积为（2a2+a1）b2h之长方体及其分解

（3）体积为（2a1+a2）b1h之长方体及其分解

用棊验法验证刍童公式有以下几个特点：

首先，它只可应用于上述标准刍童。若不是标准刍童，无法分解成长、宽、高皆相等的正方体、堑堵、阳马，因而无论如何也无法组合成上述两个长方体，从而无法验证《九章算术》中的公式（1）。这就是为什么我们说，棊验法只是验证了公式（1），而不是证明了公式（1）。有的学者认为棊验法是证明多面体体积的有效方法，显然是错误的。

其次，根据刘徽的方亭术注所说“此章有堑堵、阳马，皆合而成立方，盖说算者乃立棊三品，以效高深之积”[13]，显然，棊验法是刘徽“采其所见”的内容。

第三，验证刍童体积公式的棊验法所构造的两个长方体，恰恰符合公式（1）右端的两项。因此，我们认为棊验法是《九章算术》成书时代的方法。换言之，《九章算术》的作者就是借助于棊验法推导出刍童体积公式的。

借助棊验法推导多面体体积公式，有一个由低级到高级，由简单到复杂的过程。大约开始先推导堑堵、阳马、鳖腝、方锥等简单多面体，进而推导方亭、刍甍等多面体，最后才推导出刍童、羡除等复杂的多面体的体积公式。

刘徽尽管在《九章算术注》中记述了棊验法，却已认识到棊验法的局限性。刘徽在阳马术注中指出，用棊验法证明长、宽、高不等的情形下的刘徽原理“则难为之矣”[13]。进而他创造了用无穷小分割方法来证明刘徽原理，从而证明了《九章算术》中的阳马、鳖腝体积公式。[19][20][18]刘徽在方亭、刍甍、刍童等术注中提出了新的等价的体积公式，并将其分解成长方体、堑堵、阳马等，求其体积之和证明之，还将各种羡除分解成堑堵、阳马、鳖腝，再求其和证明了《九章算术》中的羡除体积公式。正如刘徽所指出的：“不有鳖腝，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。”[13]

刘徽最终把多面体体积理论建立在无穷小分割的基础之上，把传统数学的术及其证明理论提高到了新的水平。

参考文献

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