中国传统数学著作中术与问题的关联

中国传统数学著作中的“术”就是《周髀算经》中陈子所说的“道术”，也就是上述第2个义项。中国传统数学著作中的术是不是同一个模式、同一个层次的呢？我们来看一下同一方法在《九章算术》与《孙子算经》中不同的表达。

《九章算术》中的合分术，即分数加法法则：

合分术曰：母互乘子，并，以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。[13]

这是一条非常抽象的、概括的且普适性很强的计算程序，对任何分数的加法都适应。它的前面有三个例题：

(1),

(2),

(3)。

《孙子算经》中也有合分的方法：

术曰：置三分、五分在右方，之一、之二在左方。母互乘子，五分之二得六，三分之一得五。并之，得一十一，为实。右方二母相乘，得一十五，为法。不满法，以法命之，即得。[14]

这是即《九章算术》合分术第一个例题的算草。尽管它的基本原则对其他分数运算也适应，人们可以照猫画虎，进行其他分数的加法运算，但它不是一条抽象性、概括性的计算程序。

两者的区别是明显的。这两条术文有抽象与具体之分，有高级与低级之分。因此，它们不是一个层次的，也不是一个模式。

中国传统数学著作中的术与问题的关系是怎样的呢？有一种看法认为，每一个题目都包括问题、答案与术三项。诚然，对许多著作，比如在《算经十书》中，《海岛算经》《孙子算经》《张丘建算经》《五曹算经》《缉古算经》《夏侯阳算经》等都是如此。但是，中国古代最重要的、一直被人们奉为楷模的数学经典《九章算术》却不完全是这样。《九章算术》中术与题目的关系大体有以下几种类型。

（1）先列出一个或几个例题，然后给出一条或几条抽象的术。

上面讲的合分术与例题的关系就是这样。又如少广章开方术及其例题：

今有积五万五千二百二十五步，问：为方几何？

荅曰：二百三十五步。

又有积二万五千二百八十一步，问：为方几何？

荅曰：一百五十九步。

又有积七万一千八百二十四步，问：为方几何？

荅曰：二百六十八步。

又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一，问：为方几何？

荅曰：七百五十一步半。

又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步，问：为方几何？

荅曰：六万三千二十五步。

开方术曰：置积为实。借一筭，步之，超一等。议所得，以一乘所借一筭为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借筭，步之如初。以复议一乘之，所得，副以加定法，以除。以所得副从定法。复除，折下如前。若开之不尽者，为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实，乃开之。讫，开其母，报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一。[13]

显然，这些术都超脱了所属例题的具体的数字计算，具有高度的抽象性、概括性和普适性，而例题只有问题、答案两项，没有演算的术文。这种类型在《九章算术》中有：

共72条术，106个例题。包括卷一方田章全部，卷二粟米章经率术、其率术，卷四少广章的开方问题，卷五商功章的大部分，卷六均输章的标准均输问题，卷七盈不足章的标准盈不足问题，卷九勾股的勾股术、勾股容方、容圆及测邑诸术。这种类型在《九章算术》中占的比重最大。

（2）先给出抽象的术，再列出例题；而例题只有问题、答案，而没有演算术文。

商功章的城、垣、堤、沟、堑、渠6术及6个例题，以及刍童、曲池、盘池、冥谷4术及4个例题，便是这种类型。以刍童等术为例：(www.xing528.com)

刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。

术曰：倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤。

今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈。问：积几何？

荅曰：二万六千五百尺。

今有曲池……

以下还有盘池、冥谷的例题[13]。显然，这种类型的体例是将第（1）种类型颠倒过来。如果将曲池化为刍童型作为一条术文的话，那么共3术，10个例题。

（3）先给出抽象的术，再列出例题；而例题包括了问题、答案、术文三项。

卷二粟米章今有术便是这种类型：

今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法。实如法而一。

今有粟一斗，欲为粝米，问：得几何？

荅曰：为粝米六升。

术曰：以粟求粝米，三之，五而一。

今有粟二斗一升，欲为粹米，问：得几何？

荅曰：为稗米一斗一升五十分升之十七。

术曰：以粟求粹米，二十七之，五十而一。

以下还有同类的29个问题，共31个例题[13]。显然，这种术更具有抽象性、概括性和普适性，而例题中的术是例题前抽象性术的具体应用，实际上是例题的细草。这种类型在《九章算术》中有：

共9术，81个例题。包括卷二粟米章的今有术问题，卷三衰分章的衰分问题，卷四少广章的少广问题，卷七盈不足章用盈不足术求解的一般算术问题，卷八方程章的全部。其中，盈不足术指求不盈不肭之正数的方法，求良驽马行术的题目在所计入的12个题目中；正负术与损益术的例题都在使用方程术的18个例题之中，均不计在内。

（4）题目中有问题、答案、术文三项，且术文未脱离例题的具体数字，实际上是演算细草。

衰分章与人丝问便是这种类型：

今有与人丝一十四斤，约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两，问：得缣几何？

荅曰：三十二斤八两。

术曰：以一十四斤两数为法，以一十斤乘今有丝两数为实。实如法得缣数。[13]

衰分章后11问11术，均输章后24问24术，勾股章解勾股形11问及立四表望远、因木望山、井深3问，14术，都是这种类型。衰分章这11问后来被称为异乘同除问题，可以用今有术解决，我们采用杨辉《九章纂类》的意见，将其归结为互换乘除和先取用而求互换2术。对均输章后24问，杨辉将其将归结为先取用而求互换、反用合分术及均输法3术，而对“勾股章”14问，杨辉归结为11术[15]。除去重复者，此类共49问，49术，可归结为14术。

《九章算术》总共可归结为98术，246个例题。以上四种类型在《九章算术》各章的分布可以列成下表：

显然，在以上四种类型中，只有第四种类型的题目与《孙子算经》相类似，即术是题目的三个组成部分之一，是该题目的具体运算，相当于后世的细草。将这一部分称为应用问题集是恰如其分的。不过这一部分中的术与题目分别只占《九章算术》的不到15%～20%。

前三种类型，共84术，197个例题，前者占全书的85%以上，后者占80%以上，是《九章算术》的主体。这三种类型的体例尽管有所区别，但是很明显，术在其中起着主导作用，它们不是题目的组成部分，相反，各个题目是它们的例题。我们把这种类型称为以术统题的形式[16]。显然，有的数学史著述把合分术说成方田章第9题术，把圆田术说成方田章第32题术，等等，是不符合事实的。

同时，我们看出，《九章算术》的术不是一个层次的。前三种类型的84条术大体上是一个层次的；第4种类型中的49条术是低一个层次的；第3种类型中各个题的81条演算术文是又一个层次的，与例题前的抽象的术有统属关系。因此，有的数学史著述笼统地说《九章算术》有多少多少条术文，而不区分其不同的层次，也是不符合《九章算术》的实际的。

显然，将前三种类型称为应用问题集的形式，是不合适的，因为它抹杀了术在《九章算术》中的主导地位，从而贬低了术在中国传统数学中的主导地位。学术界，包括一些推崇中国古代数学成就的外国学者，认为中国古代数学只是问题的堆砌、经验的总结，可能有各种原因，而将中国传统数学著作统统归结为应用问题集，不能不说是造成这种误解的原因之一。