中国传统数学与吴文俊的数学机械化

吴文俊说：“我们崇拜中国传统数学，决非是泥古迷古，为古而古。复古是没有出路的。我们的目的不仅是要显示中国古算的真实面貌，也不仅是为了破除对西算的盲从，端正对中算的认识。我们的主要的也是真正的目的，是在于古为今用。”[29]古为今用像一根红线贯穿在吴文俊的数学史研究中，更贯穿在创立数学机械化理论过程中。众所周知，他的第一篇中国数学史论文《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》就是以“古为今用”的谐音“顾今用”的笔名发表的。

李俨、钱宝琮、严敦杰等老前辈一直重视中国古代数学的思想和方法对当今中小学数学教学的作用，他们认为，其中许多思想和方法比当前中小学数学教科书中所讲的更容易为学生所接受。而由于吴文俊的倡导和实践，使我们认识了中国传统数学对当前数学研究的现实意义，尤其是对数学机械化的巨大作用。

布劳威尔（Brouwer L.E.J.，1881—1966）在20世纪创始了直觉主义学派，反对在数学中无限制地使用排中律及反证法，提倡构造性的证明。现在，构造性数学已经成为数学科学中一个重要的学科群体，这与哲学上的思考与现代计算机程序设计密切相关。吴文俊“把构造性和机械化的数学看作可以直接施用之于现代计算机的数学”。他根据中国传统数学的构造性与机械化的特点，认为“算筹算盘，即是当时施用没有存储设备的简易计算机。”[9]他自20世纪70年代开始学习并研究中国数学史，他回顾说：“经过对中国古代数学的学习的触发，结合着几十年来在数学研究道路上探索实践的回顾与分析，终于形成了这种数学机械化的思想。这种思想一旦形成，就自然地化成一股顽强的动力。”[22]吴文俊将中国传统数学的构造性和机械化的思想以及几何代数化的方法用于当代数学的前沿研究——创立数学机械化理论。吴文俊的数学机械化思想是20世纪融会中西数学思想的典范。

什么是机械化？吴文俊说：“所谓机械化，无非是刻板化和规格化。”[31]而“数学问题的机械化，就要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有一个确定的、必须选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。”[12]小学生所娴熟的整数和分数的四则运算，就是一种机械化算法。然而，复杂的算术四则应用问题，需要针对一个一个或一类一类题目构思巧妙的解法，而创造了设未知数列方程的代数方法之后，就成为一种规格化的机械化程序。初等几何也是如此，对每一个命题，需要绞尽脑汁，添补不同的辅助线，进行特殊的证明，而将其代数化，也就成为机械化方法，这就是解析几何。而“初等几何的传统证明与机器证明之间的关系，就像应用题的算术解法与代数解法之间的关系”[32]。

数学机械化的思想并不是20世纪才产生的。早在17世纪，笛卡儿的《几何学》（1637）创造了解析几何学，开创了可用计算来证明几何定理的局面。此后莱布尼茨提出了使证明机械化的设想。19世纪末希尔伯特创立、发展了数理逻辑，使这一设想有了明确的数学形式。20世纪20～30年代，数理逻辑学家对定理证明机械化的可能性进行了大量的理论探讨，但结果大都是否定的。1950年波兰数学家泰斯基（Tarski）证明了初等几何及初等代数这一范围内的定理证明，是可以机械化的。然而其方法非常繁琐，远远不是切实可行的。而且，他的机械化方法在上述范围之外是不可能的。1959年，美籍华人数学家王浩设计了一个机械化方法，用计算机证明了罗素《数学原理》中的几百条定理，在数学界引起轰动。1976年，美国哈肯等人在高速计算机上用了1 200个小时证明了四色问题。但这不是真正的机器证明。吴文俊认为，希尔伯特在1899年出版的《几何基础》中有一条机械化定理：初等几何中只涉及从属与平行关系的定理证明可以机械化。不过，当时及以后一段时间内，数学是一张纸一支笔的手工作业，不管希尔伯特本人还是其他人都没有认识到它的机械化内容。在电子计算机日益普及，使繁琐、重复、大量计算已成为不足道的时代，吴文俊认识到，希尔伯特的书“更重要之处，是在于提供了一条从公理化出发，通过代数化以达到机械化的道路”[12]。

吴文俊在数学机械化道路上有两个转折。[18]

第一个转折是大约1976年下半年从布尔巴基（Bourbaki）式的数学转向数学机械化研究。吴文俊通过对中国数学史的研究，认为数学发展中存在着与希腊演绎式数学相对的另一条主流——中国的构造性、机械化数学。这一认识与他对当时方兴未艾的计算机科学必将给数学带来深刻影响的敏锐预见相结合，促使他毅然决定从拓扑学研究转向数学机械化研究，并且首先在几何定理的证明方面取得了突破。几何定理的机器证明可分成三个主要步骤：第一步是几何的代数化与坐标化，即“从几何的公理系统出发，引进数系统与坐标系统，使任意几何定理的证明问题成为纯代数问题”；第二步为几何的机械化，即“就几何定理假设部分的代数关系式进行整理，然后依确定步骤验证定理终结部分的代数关系式是否可以从假设部分已整理成序的代数关系式中推出”；第三步是“依据第二步中的确定步骤编成程序，并在计算机上实施，以得出定理是否成立的最后结论”。[33]

第二个转折是由单纯的几何定理证明到更一般的解方程。前已提到吴文俊很重视的笛卡儿将一切问题化为代数方程来求解的计划。可是，笛卡儿没有考虑多元方程组问题，而在18世纪末别朱（Bézout，E.，1730—1783）才研究了多元高次方程组的消元法，直到今天，国外也没有求解非线性方程组的方法。吴文俊研究几何定理机器证明的实践使他认识到，许多问题最后都归结为解方程，而几何定理的机器证明可看成解方程的特殊应用。这促使他提出一个将问题化为代数方程求解的数学机械化方案，其中最关键的步骤是将代数方程组化为单个代数方程。吴文俊从《九章筭术·方程》提出的方程术的消元法和元朝朱世杰的四元术的四元消法中得到启示，结合现代数学的某些理论，发现了三角化整序法，“据之以得出了彻底解决高次联立方程组求解的方法”[34]。这是目前唯一完整的将高次代数方程组化为单个代数方程的方法，国际上称之为“吴算法”。吴文俊说：“几何学机械化方法，起源于12～13世纪宋元时期初次出现的几何学机械化，将几何问题化为多项式问题，以及相伴而生的多项式组相消法。”[35]显然，吴文俊的三角化整序法正是在现代代数几何的基础上发展宋元数学家的消元法的成功。这是第一步。第二步是通过逐次除法，看最后的余式是不是恒等于零。如果余式恒等于零，就说明在某些附加条件下，从命题的题设部分可以推出终结部分，也就是说，命题已经得到证明。这两步可以由机器按一定的程序进行。[32]

吴文俊在创立数学机械化理论的过程中，当然受到希尔伯特等人的影响，但是，正如他自己指出的，他首先是受到中国传统数学的启发走向这条道路的。他说：“应该着重指出，我们从事机械化定理证明工作获得成果以前，对泰斯基的已有工作并无接触，更没有想到希尔伯特的《几何基础》会与机械化有任何关系。我们是在中国古代数学的启发之下提出问题并想出解决办法来的。”“作者本人关于数学机械化的研究工作，就是在这些思想与成就启发之下的产物，它是我国自《九章筭术》以迄宋元时期数学的直接继承。”[12]

吴文俊多次预测中国传统数学在21世纪对现代数学发展的作用。他说：“由于近代计算机的出现，其所需数学的方式方法，正与《九章》传统的算法体系若合符节。《九章》所蕴含的思想影响，必将日益显著，在下一世纪中凌驾于《原本》思想体系之上，不仅不无可能，甚至说是殆成定局，本人认为也决非过甚妄测之辞。”[36]他又说：“我们是在中国古代数学的学习与启发之下提出问题并想出解决办法来的。其根本原因是：中国的古代数学基本上是一种机械化的数学，而几何的代数化又是宋元时期我国数学的主要成就。我们的研究工作还只是一个开端。如何继续发扬中国古代传统数学的机械化特色，对数学各个不同领域探索实现机械化的途径，建立机械化的数学，则是本世纪以至可能绵亘整个21世纪才能大体趋于完善的事。”[37]这些精辟论述指出了21世纪中国数学发展的方向。我们深信，随着吴文俊这一预见的实现，中国必将在21世纪成为数学强国。

参考文献

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[37]吴文俊.数学的机械化与机械化的数学.吴文俊论数学机械化.济南：山东教育出版社，1995：423～429.

【注释】

[1]这是关肇直先生生前审查《中国大百科全书·数学卷》第一版条目时的意见，笔者认为很有道理。

[2]*此下原文有“中国传统数学的三个高潮及在世界数学史上的地位”，因主要论点本文集其他文章已论及，故删去。

[3]*原文此下简要介绍刘徽对《九章筭术》圆面积公式的证明，已见于本文集其他文章，故删去。