郭书春数学史自选集：中国传统数学的重要角色

英国科学史家李约瑟（1900—1995）根据李俨、钱宝琮、严敦杰等学者的中国数学史的研究成果，致力于中外比较研究，指出在数学上，“在公元前250年到公元1250年之间，从中国传出去的东西比传入中国的东西要多得多”[17]，批驳了中国古代数学源于古巴比伦、古希腊和印度的谬说。我们根据李俨、钱宝琮、李约瑟等前辈的论述，进而指出，从公元前3世纪到公元14世纪初，中国是世界数学研究的重心。然而，所有这些都没有解决中国古代数学是不是世界数学主流的一部分，是不是对世界数学的主流产生影响的问题。显然，正如李文林所指出的，“这个主流问题不解决，中国古代数学的意义就不足称道。而吴文俊教授从20世纪70年代中期开始的数学史研究，恰恰在揭示中国古代数学对世界数学发展主流的影响方面，做出了特殊的贡献，从而将中国数学史研究推向了一个新阶段。”而“吴文俊的研究首先是从根本上澄清什么是数学发展的主流。”[18]

钱宝琮指出：“第5世纪以后，大部分印度数学是中国式的，第9世纪以后，大部分阿拉伯数学是希腊式的。到第10世纪中这两派数学合流，通过非洲北部与西班牙的回教徒，传到欧洲各地，于是欧洲人一方面恢复已经失去的希腊数学，一方面吸收有生力量的中国数学，近代数学才得开始辩正的发展。”[19]吴文俊根据钱宝琮的思想，将中世纪数学发展过程概括为下面的简图：

（c表示世纪）。[20]不久，他进而指出：“贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，另一是机械化思想。”[13]他又将“两个中心思想”改成“两条发展路线”，使表述更为清晰，他说：“从历史来看，我总觉得有两条发展路线，一条是从希腊欧几里得系统下来的，另一条是发源于中国，影响到印度，然后影响到世界的数学。”[21]接着，他提出这两条发展路线互为消长：“从数学有史料为依据的几千年发展过程来看，以公理化思想为主的演绎倾向，以及以机械化思想为主的算法倾向互为消长。”[22]不久，他更明确地指出了数学发展的主流问题：“在历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长交替成为数学发展中的主流。”[23]这就从理论上回答了什么是世界数学发展的主流的问题。而“中国古代数学，乃是机械化体系的代表”，从而彻底解决了中国传统数学属于世界数学发展主流，并且是主流的两个主要倾向之一的问题。这就是说，在吴文俊看来，“数学发展的主流并不像以往有些西方数学史家所描述的那样只有单一的希腊演绎模式，还有与之平行的中国式数学，而就近代数学的产生而言，后者甚至更具有决定性的（或者说是主流的）意义。”[18]

微积分无疑是近代数学主流中最重要的部分。许多人将微积分看成只是在古希腊数学的基础上发展起来的，是古希腊数学严密推理模式的产物，这是一种误解。吴文俊说：“微积分的发明从Kepler到牛顿有一段艰难的过程。在作为产生微积分所必要的准备条件中，有些是我国早已有之，而为希腊所不及的。”[20]美国数学史家史密斯认为，微积分的发展有四个主要步骤：第一步是用穷竭法从可公度的量过渡到不可公度的量。第二步是无穷小方法。第三步是牛顿的流数法。第四步是极限。[24]这四个步骤是正确的，但是，由于所掌握的中国传统数学知识的贫乏，科学史家们将这四个步骤与中国古代联系时却常常偏颇。他们一般认为中国与古希腊一样，只做到了第一步。而实际上，中国传统数学不仅完成了第一步，也完成了第二步、第四步。^[3]实际上，刘徽对圆面积公式的证明明显使用了极限思想和无穷小分割方法，已经接近西方微积分产生前的面积元素法。[25]西方接近刘徽思想的论述，已是15、16世纪的事了，而古希腊数学中既没有极限思想，也没有使用无穷小分割方法。[26]刘徽用极限思想和无穷小分割方法对四面体体积公式的证明更加高明，他将其体积理论建立在无穷小分割基础之上，实际上研究了19、20世纪数学家在探讨的问题。

微积分产生的动因有四个：求运动物体在任意时刻的速度和加速度或其逆问题；由透镜设计引发的求曲线的切线问题；由炮弹和行星运动引发的函数的极值问题；求物体的重心及万有引力问题。[27]就是说，用数学方法解决运动学、光学问题，导致了微积分的产生。中国传统数学虽然没有发展到探讨这些问题的阶段，然而，用数学方法解决实际问题，数学理论密切联系实际，正是中国古代数学的传统[28]，而不是古希腊数学的传统。希腊数学家把数学看成纯精神的活动，鄙视数学的任何实际应用。显然，如果16、17世纪的欧洲数学家恪守希腊的数学传统，那么，他们永远跨不进微积分学的大门。正是以中国数学为其源头和重要组成部分的东方数学，包括数学方法和用数学解决实际问题的传统，传到欧洲，与发掘出来的古希腊数学相结合，导致数学模式和数学家的数学观的改变，才开辟了文艺复兴后欧洲数学的繁荣，并开辟了通向微积分的道路。

东方数学的传入也改变了欧洲数学家研究的方向。古希腊数学以研究空间形式为主，讨论图形的性质，几乎不涉及图形的数量关系，而中国和东方数学则以研究数量关系为主，即使是几何问题，也必定化成算术或代数问题，求出它们的数值，这就是几何问题的代数化。而几何问题的代数化，正是微积分的先导——解析几何产生的必要条件。吴文俊说：“这种几何的代数化为解析几何的出现迈出了重要的、也是决定性的一步。”[29]吴文俊回顾了笛卡儿拟议中的一个适用于解决一切类型问题的普遍方法，大致是：第一步，把任一问题化为一数学问题，第二步，把任一数学问题化为一代数问题，第三步，把任一代数问题化为一解单独一个方程的问题。笛卡儿没有完成他的设想，却在《几何学》中阐述了现在被称为解析几何的概念和方法。笛卡儿在这里没有引入坐标，也没有正负数概念，实质上只是一种有系统的代数几何化方法，对近代数学和整个科学产生了重要影响。吴文俊指出：“回顾我国从秦汉到宋元间数学发展的历程，可谓我国传统数学所走过的道路正好与笛卡儿的计划若合一契；反过来，笛卡儿的计划，也无异于为中国传统数学作了一个很好的总结。”[29](www.xing528.com)

最后，微积分是不是古希腊数学严密推理模式的产物呢？回答也是否定的。古希腊数学使用公理、定义、定理的表达方式，历来被尊为推理严密的楷模。其实，正如吴文俊所指出的，“公理、定义、定理的表达方式，并不能保证逻辑推理严密无间。欧几里得《几何原本》在逻辑上弊病甚多，这在19世纪数学批判性浪潮中已多所指摘。”[9]实际上，17世纪为微积分作出贡献的大多数数学家，如卡瓦列利（Cavalieri，1598—1647）、费尔玛（Fermat，1601—1665）、帕斯卡（Pascal，1623—1662）、巴罗（Barrow，1630—1677）等，并不关心严密化问题，才迈出了通向微积分的步伐。卡瓦列利在回答别人的责难时说：“严密是哲学所关心的，而不是几何所关心的事情。”[27]微积分的创造者牛顿、莱布尼茨甚至都没有清楚地理解也没有定义微积分的基本概念。牛顿在《分析》中宣称：“既然假定0是无限微小，那么，它就可以代表量的瞬，与它相乘的诸项对于其余诸项来说就等于没有。”但是，这样就使自己陷入进退两难的困境。后来，在《曲线求积法》中，他试图建立没有无穷小的微积分，而代之以基本的和最终的比。然而这种做法却遭到更多的批评。[30]莱布尼茨的方法与牛顿有所不同，但他也没有把微积分的基本概念弄明白。他说：“考虑这样一种无穷小量将是有用的，当寻找它们的比时，不把它们当作零，但是只要它们和无法相比的大量一起出现，就把它们舍弃。”[27]显然，牛顿、莱布尼茨都没有把微积分学建立在稳固的严密的基础之上。实际上，在两个世纪后极限论建立之前，谁也说不清楚，为什么舍弃无穷小是合理的。不难想象，牛顿、莱布尼茨等如果恪守古希腊数学推理严密化的规范的话，是不可能建立微积分的。事实上，在微积分建立后，正是受古希腊几何学束缚的数学家们怀疑微积分学的全部工作。[30]

中国传统数学理论密切联系实际，没有发生导致古希腊数学转向的争论。例如，中国古代不讨论正方形的对角线与其边长（即与1）是否有公度的问题，刘徽在开方不尽时提出继续开方，“求其微数”，以十进分数表示无理根的近似值，这是中国古代在圆周率近似值方面取得重大成就的计算基础，也避免了古希腊那样将计算排除在外的转向；又如，中国古代没有陷入潜无穷小与实无穷小的争论，刘徽认为无限分割圆内接正多边形，最终必定会“至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，无限分割锥体，最终必定会“微则无形”[2][3][4]，因而敢于将极限过程进行到底并进行无穷小分割，没有发生古希腊那样因对潜无穷小和实无穷小争论不休而将极限思想和无穷分割排除在数学之外的结局。显然，微积分学创造者的思想和推理模式与中国传统数学尤其是刘徽更为接近，而与古希腊数学是根本不同的。吴文俊说：“对近代数学起着决定作用的解析几何与微积分，实质上都是机械化思想而非公理化思想的产物。”[22]他又说：“我们甚至不无理由可以这么说，微积分的发明乃是中国式数学战胜了希腊式数学的产物。”[20]

古希腊数学与中国传统数学各有所长。厚此薄彼，褒一贬一，不是恰当的态度。正确的态度是取两者之长，兼收并蓄。如果现代数学家既能施用古希腊的抽象方法又长于中国式的算法，便可以同时进行深入的证明和准确的计算，对当今数学的发展来说可能会起到现在无法预料的作用。这是中西数学思想的一种新的融会贯通，可以说是较明末至清末更高的完全不同的一种融会贯通。

总之，只要了解并客观、公正地评价中国传统数学，就会发现，它是世界数学主流的极其重要的一部分。