中国封建治世：九章筭术中的犬追兔问题分析

经过汉高祖废除暴秦的严刑苛法，与民休养生息，到文帝景帝出现了中国历史上第一个路不拾遗、夜不闭户的封建治世。《九章筭术》有的问题反映这种社会现实。如均输章“客去忘持衣”问：

今有客马，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃觉。持衣追及与之而还；至家视日四分之三。问：主人马不休，日行几何？

荅曰：七百八十里。

术曰：置四分日之三，除三分日之一，半其余，以为法。副置法，增三分日之一。以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。[2]

这个问题将旅店老板不顾自己劳累，骑马追赶忘记衣服的旅客，送还而归的诚朴形象跃然纸上。除，在这里是减的意思。《九章筭术》的方法是

这个问题是具体问题的演算细草，而不是抽象性术文统率例题的形式，[20]它不会产生于先秦，而是张苍或耿寿昌补充的，很可能产生于文景时期。

在战乱频仍的南北朝形成的数学著作中很难看到这类和谐温馨的问题。比如，《九章筭术》均输章有一个犬追兔的趣味题：

今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问：犬不止，复行几何步及之？

《九章筭术》的解法是：

术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘犬追步数，为实。实如法得一步。[2]

此即：

复行步数=（犬追250步×不及30步）÷（兔先走100步-不及30步）

　　　　=107步。

同类的追及问题，在南北朝北魏产生的《张丘建筭经》却变成了一个关于盗窃的问题：

今有人盗马乘去，已行三十七里，马主乃觉，追之一百四十五里，不及二十三里而还。今不还追之，问：几何里及之？[21]

反映了盗贼横生的社会现实。

参考文献

[1]郭书春.中国古典数学的思维方式.苏才等主编.中国人传统思维方式新探.沈阳：辽宁教育出版社，1993：106.

[2]汇校《九章筭术》增补版.郭书春汇校.沈阳：辽宁教育出版社，台北：九章出版社，2004.本文凡引《九章筭术》及其刘徽注李淳风等注释的文字均据此.*郭书春汇校.九章筭术新校.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

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[11]周易·系辞下.十三经注疏.北京：中华书局，1980：86.

[12][汉]班固，等.汉书·律历志上，卷二一上.北京：中华书局，1962：956.

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[15][汉]郑玄注.周礼.十三经注疏.北京：中华书局，1980.

[16]潼川民间传说集.雍正十一年（1733）抄本.此系四川安岳县县委宣传部原部长杨国选同志提供.

[17]李零.吴孙子发微.北京：中华书局，1997.

[18]肖灿.岳麓书院藏秦简《数》研究（湖南大学岳麓书院2010年博士论文）.

[19]孟轲.孟子·梁惠王上.十三经注疏.北京：中华书局，1980.

[20]郭书春主编.中国科学技术史·数学卷.北京：科学出版社，2010.

[21][北魏]张丘建.张丘建筭经.郭书春点校.郭书春等点校.算经十书.沈阳：辽宁教育出版社，1998.修订本.台北：九章出版社，2001.

【注释】

[1]目前还在使用的比率无疑是最重要、应用最广泛的一种率关系，但是并不是其全部。目前的数学中还没有找到一个与之相应的概念，故笔者与法国林力娜（K.Chemla）的中法对照本《九章算术》中对它没有翻译，而使用lǜ。

[2]这一看法与现代数学关于分数的定义惊人的一致。

[3]“幂并水大斜幂，减水小斜幂，余半之，自乘于上；以水直幂乘水大斜幂，减上；余，四约之，为水实；一为从隅，开连枝平方”，原文讹作“乘之，为水实。倍水小母为法，除之”，依王守义《数书九章新释》（安徽教育出版社，1990）校正。

[4]将上式因式分解，得此即古希腊海伦公式。