齐同之术的数学史自选集

一个复杂的数学问题，往往有许多数量关系。这些数量关系表面上看可能是互相独立的，不能通达。为了解决这个问题，就必须设法找到各种数量关系的某个共同元素，通过这个元素使各个数量关系联系起来，进而互相通达。《九章筭术》粟米章的今有术被刘徽称为“都术”[2]，即普遍方法。刘徽《九章筭术注》在说明今有术的广泛应用时说：

诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辨名分，平其偏颇，齐其参差，则终无不归于此术也。

这是说，如果能分辨各种不同的数的错综复杂关系，疏通它们彼此之间的闭塞之处，根据不同的物品构成各自的率，仔细地研究辨别它们的地位与关系，使偏颇的持平，参差不齐的相齐，那么就没有不归结到这一术的。

所谓“平其偏颇，齐其参差”就是齐同术。关于齐同术，刘徽说：

凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也。

这本来是针对分数加减法而言的。几个分数相加减，如果分数单位不同，便无法进行运算，所谓“众分错难，非细不会”。借助于齐同术，使诸分母相乘，作为公分母，而使分母互乘分子，使分数值保持不变。因而可以相加减。(www.xing528.com)

关于齐同术的作用，刘徽说：

齐同之术要矣：错综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其筭之纲纪乎。

就是说，不管多么错综复杂的问题，只要应用齐同术，就会使问题的各个因素通达和谐，问题便迎刃而解。

刘徽总结发展了《九章筭术》关于“率”的应用，提出了率的定义：“凡数相与者谓之率”^[1]，指出率具有“粗则俱粗，细则俱细”的性质。特别，刘徽认为分数的分子与分母是率关系^[2]。因此，关于分数运算的“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”可以推广到率的运算中无往而不理。刘徽实际上认为率是算之纲纪，刘徽将率概念应用于《九章筭术》的大部分术文及200余个题目，以及自己提出的周率与径率、圆率与方率及刘徽原理等重要常数及原理中。率借助于齐同原理，做到了无往而不理。