①本文原载《《科学技术与辩证法》1985年第2期。《中国改革开放二十年》（下）转载，北京：中央文献出版社，1999.
正像奴隶社会制度下的希腊，资本主义制度下的欧美，分别达到了当时世界数学的高峰一样，我国封建社会也达到了世界数学的高峰。本文试图从我国封建社会内部不同的发展阶段，探讨一下我国数学的发展情况。
春秋（公元前475年）以前，我国数学发展状况可靠的文字记载很少。我国古代数学的主要成就是从春秋战国之交到元中叶（14世纪初）完成的。这些成就按先后顺序是：
（1）最晚在春秋战国之交，完成了十进位值制记数法，创造了算筹和筹算，这是当时世界上最先进的计算工具和计算方法。
（2）集先秦到西汉数学大成的《九章算术》，其中分数四则运算、比例分配算法、开方法、盈不足术、正负数加减法则、多元一次方程组解法和勾股数组等方面处于世界领先地位。
（3）公元3世纪赵爽注《周髀》，对当时我国所掌握的勾股方面的公式作了证明。公元263年刘徽注《九章算术》，全面证明了《九章算术》的内容，作出了许多数学定义，并用极限思想证明了圆面积公式和锥体体积公式，其极限思想远远超过古希腊。他发展了重差术，提出了率是数学运算的纲纪，提出了后来祖暅之原理的某些特殊情况，他的证明论和逻辑思想十分高超。
（4）《孙子算经》的一次同余方程组问题，《张丘建算经》的百鸡问题（公元5世纪）。
（5）祖冲之（429—500）父子计算π值到8位有效数字，提出祖暅之公理，求得正确的球体积公式。
（6）公元7世纪初王孝通著《缉古算经》，包括三次方程解法。
（8）公元11世纪贾宪创造贾宪三角，创造增乘开方法；比西方同类成就分别早600年或800年左右。
（9）公元1247年秦九韶著《数书九章》，把高次方程数值解法发展得十分完备；他还创造了大衍总数术，系统解决了一次同余方程组组解法；西方五六百年后才达到同样的水平。
（10）公元1248年李冶著《测圆海镜》，反映了我国北方数学家创造的天元术，即设未知数列方程的方法。
（11）公元1303年朱世杰著《四元玉鉴》，创造四元术，解决多元高次方程组求解问题；他还提出了若干高阶等差级数求和公式；比西方同类成果早出三四百年。
（12）从唐中叶开始改进筹算技术，杨辉和朱世杰总结了许多筹算捷法歌诀，最迟在南宋，我国人民创造了珠算盘，完成了计算工具的重大改革，至今仍具有生命力。
这些概括很不全面，只可见我国古代数学成就之一斑。这些成就集中发生在三个时期，也就是出现了三个高潮。
第一个高潮发生在春秋战国之交至西汉（公元前2、3世纪），以《九章算术》为代表，归纳整理了几百年的数学成就，奠定了我国古代数学以计算为中心以解决应用问题为目的的特点，确立了我国古代数学的基本框架和结构。
第二个高潮是从魏（公元3世纪）到唐初（7世纪初），以刘徽、祖冲之为代表，一方面为中国古代数学奠定理论基础，另一方面提出了某些新的课题，补充了新的领域。
第三个高潮发生在宋元时期，以贾宪、秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰为代表，达到了我国筹算的顶峰。
我国自秦朝起就建立了统一的中央集权的国家，并且在此后两千多年中，基本上是统一的，这当然有利于数学的发展。但是我国古代数学的三个高潮中，有两个分别发生在魏晋南北朝时期和宋金元时期，都是几个政权并存；相反，繁荣昌盛的大帝国唐朝，数学上建树不多，中央集权的明朝，数学上毫无成就。同样，把文化相对落后的北方少数民族侵入中原看成数学衰落的原因，也是不妥的。恰恰相反，北方少数民族入主中原的南北朝和宋金元时期，数学上却有长足的进步。这是不难理解的，当时，以汉族文化为主体的中华民族文化已经发到这样的地步，任何入主中原的少数民族，无法用它落后的文化取代汉文化，而只能被汉文化所同化。同化的过程也是民族大融合的过程，文化交流的过程，中华民族吸收新鲜血液的过程。同时，这个过程必然会给汉文化中传统的保守势力或多或少的冲击，有利于思想解放，有利于数学的发展。因此，国家的统一自然有利于数学的发展，民族大融合时期，同样也有利数学的发展。人们的实际需要决定着数学的发展，一般说来，这是对的，特别是经济生活的需要，更影响着数学的发展，对理论密切联系实际的中国古代数学来说，尤为如此。然而，这种社会需要与数学的发展水平和速度，并不是正比例关系。唐朝的经济发展水平远远超过魏晋南北朝，王孝通对祖冲之父子的《缀术》的某些内容却不能理解，李淳风等的《九章算术》注释远远低于刘徽注，王、李都是唐初大家。明朝的生产对数学提出的问题，起码不会低于宋元，可是，明朝数学不仅停滞不前，连宋元数学的成就都失传了。统治阶级对数学的重视会促进数学的发展，但这也不是根本原因。我们知道，数学虽列入六艺，但属末流，历来被视为“九九贱技”。我们认为，我国古代数学的发展有着更深刻的社会原因，为了弄清这个原因，必须分析我国封建社会的发展情况，具体说来，要分析我国封建社会的不同阶段和数学发展的关系。当然，按照马克思主义观点，这归根到底还是由生产力的发展决定的，但有时，经济关系的变革对包括科学技术在内的生产力的发展起着决定作用，也是马克思主义的观点。
中国的封建社会大体分成三个阶段：
宋元明清时期——封建租佃制阶段[1][1]。
笔者认为，《九章算术》成书于西汉，但是，它的内容的积累，一些解法，比如方田、粟米、衰分、少广、商功等章中的解题方法，正如钱宝琮所指出的，绝大部分生于秦以前[2]，即春秋战国时期，这正是我国从奴隶社会向封建社会过渡的时期[2]。这个时期，有两个显著的因素影响了我国古代数学的发展，一是封建土地占有制的发展，按亩征税交租，谷物产量的计算，修水利，建城堡，商业贸易的发展。随着封建生产关系的确立带来的这些新变化给数学提出了许多前所未有的新问题，大大促进了数学的发展。先秦虽没留下数学著述，但在典籍中，如《左传》，不乏数学计算的记载，说明当时己经掌握了完整的分数四则运算、比例分配、各种面积和体积的计算方法等数学知识[3]。二是百家争鸣。此时出现了不少思想家和学派。但它们处在社会大变革，阶级斗争和政治斗争非常激烈的时期，他们忙于提出调整各阶级、各阶层关系、医治社会弊病的药方和伦理道德方面的主张，而不是像古希腊的学者那样，既是思想家，又是数学家。他们对自然科学和数学不够重视，即使最重视数学的管子和墨家，也难于与古希腊的大学者相匹敌。这就造成了哲学特别是逻辑学研究与数学研究的脱节。人们丰富的数学知识，没有能得到很好的理论概括和提高。因此，一方面，社会制度的变革，社会发展的需要，使人们掌握了越来越多的数学知识，特别是计算方面的知识，先进的十进位值制记数法和先进的计算工具算筹，更促进了计算技能的提高。另一方面，数学知识又缺乏很好的理论概括。这就决定了我国古代数学在起步的时候就具有以计算为中心的长处和忽视理论研究的缺点。秦汉中央集权封建国家的建立，使社会生产力得到进一步发展，提出了更多的数学问题。正是在这种情况下，出现了专门的数学著作《许商算术》《杜忠算术》（均失传）《九章算术》。《九章算术》是从奴隶社会向封建社会过渡以及巩固封建制度的过程中，我国人民数学知识的集大成，它奠定了我国整个封建社会数学的理论密切联系实际的特点，以计算为中心的风格及基本框架。(www.xing528.com)
魏晋南北朝是我国古典数学发展史上的第二个高潮。赵爽注《周髀》，刘徽注《九章算术》，理论上贡献极大。特别是刘徽，他全面证明了《九章算术》的方法、命题，驳正了《九章算术》的谬误，提出了许多新的思想、新的方法，成为我国古典数学理论的奠基者，在当时数学各领域都有独到的见解。祖冲之父子的《缀术》失传，其全部数学贡献不得而知，他们对π的计算和球体积公式的求得，却永垂青史。《孙子算经》提出了一次同余方程组问题，《张丘建算经》提出了百鸡问题和等差级数互求公式，给我国传统数学增添了新的分支，进一步补充了《九章算术》所奠定的我国数学的框架。魏晋南北朝是我国古典数学理论上奠基、结构进一步完善的时期。这有深刻的历史背景。经过两汉社会经济的发展和汉末黄巾农民大起义，魏晋时期，中国封建社会进入了一个新的阶段[3]。大量的个体农民变成地主庄园的带有农奴性质的部曲、徒附，门阀士族占据了政治舞台的中心，经济关系的基本特征是庄园农奴制。魏蜀吴三足鼎立，结束了军阀混战的局面，生产力得到恢复和发展，长江流域开始赶上北方。更重要的，黄巾大起义和随后而起的军阀混战，把繁琐的两汉经学和谶纬迷信送进了历史博物馆，儒家思想的统治地位受到严重打击，代之而起的是以谈三玄（《周易》《老子》《庄子》）为中心的辩难之风。知识分子中盛行“析理”。探讨思维规律，追求理胜，一时成为知识界的风气。与这个新阶段相适应，我国当时出现了许多杰出的政治家军事家如曹操、诸葛亮、周瑜，许多杰出的思想家如嵇康、何晏、王弼，许多杰出的科学家如马钧、裴秀、华佗等。当时数学界的情况是，《九章算术》包含了大量的数学公式、解法，有的具有世界意义，但却未得到数学证明。东汉出现了几家《九章算术》注，从刘徽注反映的蛛丝马迹看，水平都不高，《九章算术》的错误公式或不准确的地方，没有得到纠正。数学内部的发展迫切要求从感性向理性的飞跃。同时，有些新的领域，有待开拓。在理性思维盛行的情况下，刘徽出色地完成了第一个任务。他“析理以辞，解体用图”，对《九章算术》的命题进行演绎证明。他追求数学上的理胜，与当时思想界的辩难之风完全合拍。他在析理中重视数学定义，主张“贵约”“举一反三”，主张理性判断，甚至许多言辞上都与嵇康、何晏、王弼相一致[4]。司马氏统一中国仅30多年，即被北方少数民族贵族赶往江南。北方由少数民族统治，南方是汉族地主政权，史称南北朝。不管是北方的汉化过程，还是南方的清谈，儒家思想受到冷落。唯物主义思想在与唯心主义斗争中得到发展。范缜（450—507？）著《神灭论》，祖冲之指斥谶纬迷信，坚持科学真理，和朝中权贵辩论，就是当时思想界比较自由的反映。钱宝琮先生指出：“在有神、无神争辩的同时，研究自然科学的精神发扬起来了……祖冲之曾注《九章算术》，造《缀述》数十篇，他的儿子祖暅编写《缀术》六卷，在数学方面有不可磨灭的辉煌成就。”[5]因此，我国在魏晋南北朝出现第二个数学高潮，是与当时生产关系的变革和思想界斗争的情况相适应的。
唐朝是封建经济高度繁荣的时期，随着生产力的发展，自唐中叶起，生产关系开始发生新的变革。唐末农民大起义，促使这种变革的完成，宋元时期，我国封建社会又进入了一个新的历史阶段[4]。“宋朝建立后，社会经济关系，主要是地主对农民的剥削关系表现出不同于前代的一些新现象。首先，贵族官僚按等级世袭占田制度从唐朝中期起开始瓦解，唐末农民革命战争最后消灭了这一制度，宋代的地主阶级主要是以购买土地的方式来扩大土地占有。其次，地主对农民的剥削方式主要是出租土地榨取实物地租。前代的劳役地租成为从属的、次要的剥削方式。还有，隋、唐以来，门阀地主奴役着带有农奴身份的部曲、徒附，他们的户籍注在主人的名下。宋朝把客户（佃客）编入户籍，成为封建国家的编户，不再是地主的‘私属’。”“宋朝以后的封建社会基本上是延续了这样的经济关系。”[6]随着这些变革，社会经济得到较大的发展。农户增加，大量荒地被开垦，农业生产发展到新的水平，工商业也空前繁荣。在思想界，五代和宋初，儒学遭到贬斥，后来，真宗开始崇儒，但不久，王安石为找变法根据，对儒家经典作了新的解释，一直到南宋末年，唯物主义和唯心主义斗争非常激烈。当时虽然产生了程朱理学，但只是一种思想流派，在南宋末年理宗当权之前并未成为统治思想，它们不断受到叶适等唯物主义思想家的批评，韩侂胄还演出了禁道学的大场面。可见当时思想界还是比较自由的。辽、金、元先后统治下的北方，对儒家当然更不加理采。在这些条件下，科学技术的进步特别明显：指南针用于航海，发明了活字印刷，火药得到广泛应用，还发明了世界上最早的纸币，等等。同时，我国的筹算数学，也在宋元时代达到了顶峰：贾宪创造贾宪三角即帕斯卡三角，又创造增乘开方法，中经刘益，到十三世纪秦九韶提出正负开方术，成为完整的求高次方程正根方法。目前有的著作把它称为秦九韶程序。秦九韶又系统解决了一次同余方程组组求解问题。杨辉在普及数学知识，总结民间算法上颇有贡献，南方形成了一个数学研究中心。同时，金元统治下的北方太行山两侧也形成了一个数学中心，有许多知名数学家，集中研究设未知数列方程的方法，即天元术，李冶就是他们杰出的代表。元统一中国后的朱世杰，是一个专业数学家和数学教育家，他从北方到南方，综合了南北两个数学中心的长处，成为宋元数学的集大成者。同时，筹算的改进，各种筹算乘除捷算口诀的出现，引起了口诀和计算工具的矛盾，把筹算赶出了历史舞台，珠算盘和珠算诞生了，我们至今使用。宋元数学是世界中世纪数学史上最光辉的一页。
由上面的叙述我们可以看出：
我国从奴隶社会到封建社会的历史大进步，迎来了中国数学的大发展。同时，我国数学的进步与我国封建社会不同的发展阶段，即与封建社会内部的变革密切相关。“由于社会的进步需要经过斗争使一种社会形态转变成为更进步的另一种社会形态时，阶级斗争为了冲破旧有的生产关系，对社会进步讲来是必要的，对科学技术的发展讲来也是必要的。”[7]对数学发展也是如此。我国封建社会制度，封建的政治、经济、文化的高度发展，造成了中国数学在世界上领先一千多年的局面。在这一千多年中，我国筹算数学尽管有低潮，有高潮，却是一个高潮高过一个高潮地向前发展的，而且，它的高潮的出现，与我国封建社会发展的不同阶段是大体相应的。
我国数学在十四世纪初期以前，不仅随着封建社会的发展水平越来越高，而且速度越来越快，成就的密度越来越大。《九章算术》成书，经过了五百多年的孕育，加上见之于史籍的《许商算术》《杜忠算术》，终两汉，不过三部著作。魏晋南北朝到唐初，不到四百年，就出现了刘徽、赵爽、祖冲之、祖暅之、张丘建、王孝通等大数学家。而从贾宪到朱世杰，不到三百年，就出现了贾宪、秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰等有成就可稽的五大数学家，沈括、刘益、蒋周、李文一、石信道、刘汝谐、元裕、李德载、刘大鉴等也有贡献，甚至形成了两个中心，真是群星灿烂。
我国封建社会每进入一个新的阶段不久，就出现了数学的大发展，达到某种高峰（《九章算术》成书，离封建制度确立，约五百年，但前已指出，它的许多重要方法，是先秦时创立的）。就是说，我国封建社会内部一个阶段取代另一个阶段的社会变革，必定给数学的发展带来某种动力。上面已经谈到，首先社会变革带来生产力的进一步发展（当然，社会变革的决定性因素是生产力的发展），给数学提出了大量的问题。其次，在每个阶段的初期，即变革时期，儒家思想或者没有成为统治思想，如春秋战国时期，或者它的统治地位受到冲击（如魏晋和宋元），使思想界学术界有某种程度的自由，使数学家有发挥自己数学才能的社会条件。当然，这种动力的内容以及如何发挥作用，还需要继续深入研究。
在封建社会内部的每个阶段的后期，尽管生产力继续发展，但在进入新的历史阶段之前，数学的发展速度往往有下降的趋势，显得比较平缓，这就是所谓低潮，这在唐朝和明朝尤为明显。东汉成绩也不大，当然，时间较短。低潮的出现，我们认为，与经学泛滥，谶纬迷信，科举考试，八股取士，重文轻理，把大量的人才引向治经史有关，也与每个阶段的中后期缺乏来自社会的动力有关，如思想界比较凝滞，学术自由较少等等。但正像此时生产力的发展孕育着生产关系的变革一样，此时数学处于一个积累过程，东汉几家的《九章算术》注，水平虽然可能不高，但必定对刘徽有所启迪。唐朝的数学发展缓慢，但为宋元的高峰作了准备，特别唐中叶开始的筹算技术的改进导致珠算盘的产生则可以看得更为明显。
关于明朝数学的落后，需要多说几句。以往我国数学出现过低潮，其时间跨度有的也不比元中叶至明末短，但随后都出现更高的高潮。可是明朝数学的落后，使我国不仅失去了在世界数坛上领先的地位，也失去了数学大国的地位。清朝数学虽有一定程度的复兴，但却远远落后在西方的后面，至今没有完全翻身。明朝数学落后的原因，自明末徐光启就开始探讨，至今四百年，诸说不一。我们认为，要解决这个问题，必须结合我国封建社会末期的特点考察数学的发展。我国宋元数学得到了高度发展，有许多成绩已经超出了当时的社会的需要，[8]是欧州一些近代数学家才解决的。在某种意义上说，达到了饱和状态，遇有适当的社会条件和社会需要，我国数学是会发展为变量数学的。但是，明朝以后的社会条件完全堵塞了这条道路。我国封建社会的高度发展，固然为当时我国数学的高度发展创造了条件，然而，正因为封建社会高度发达，具有比较完备的一套政治制度、经济制度和意识形态，以及本身所具有的某些特点，比如：中国封建城市不是像西欧那样作为封建庄园的对立物，而是封建统治中心；资本主义萌芽在明中叶后开始产生，但得不到正常发展。因此，人类向资本主义社会的过渡，不是发生在封建社会产生比较早比较发达的中国，而是发生在封建主义比较薄弱的西欧。我国资本主义萌芽脆弱，资本主义生产关系得不到发展。运动没有成为科学研究的中心，科学研究的数学方法。用数学方法描述运动，当然提不到议程上来，这是我国没有产生变量数学的根本原因，也是明代数学落后的根本原因。而明朝作为封建社会后期的专制主义王朝，政治上特别反动黑暗，东西厂和锦衣卫的特务横行，科举上的八股取士，意识形态上的理学统治，窒息了研究数学和自然科学的空气。因此，在某些方面已经超出当时社会需要的宋元数学在明朝无人问津而失传，就毫不奇怪了。
中国古代数学与封建社会的关系，是一个仍有现实意义的重要议题。这里只是谈了几个侧面，而且很不成熟，有待于继续深入研究。提出这些意见的目的在于抛砖引玉，以期引起进一步的讨论。
参考文献
[1]漆侠.关于中国封建经济制度发展阶段问题.山西省社会科学研究所编.中国社会经济史论丛，第一辑.太原：山西人民出版社，1981，7：149～185.
[2]钱宝琮.九章算术提要.钱宝琮校点，算经十书，上册.北京：中华书局，1963.*郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（4）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.
[3]郭书春.略谈世界数学重心的三次大转移.科学技术与辩证法.1986，1：44～48.
[4]郭书春.刘徽思想探源.中国哲学史研究.1984，8.
[5]钱宝琮主编.中国数学史.北京：科学出版社，1964：26.*郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（5）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.
[6]蔡美彪，等.中国通史，第5册.北京：人民出版社，1978：4～5.
[7]杜石然，等.中国科学技术史稿，下册.北京：科学出版社，1983：312～313.
[8]钱宝琮，等.宋元数学史论文集.北京：科学出版社，1966.
【注释】
[1]正像关于我国封建社会的开端史学界有西周说、战国说、魏晋说等各种观点一样，关于我国封建社会的分期，史学界也有各种不同的观点，即使持战国封建说的同志也众说纷纭。
[2]我国封建社会起于何时，是史学界长期聚讼不已的问题，此取战国封建说。此外有代表性的尚有西周封建说和魏晋封建说。
[3]有的学者，如王仲犖，甚至认为魏晋是我国封建社会的开始。许多持其他分期方法的学者也认为汉末魏初是某两个阶段或两小段的分界线，如胡如雷、侯外庐、束世澂、关履权、周乾荣、骆承烈、白寿彝、翦伯赞等同志，见瞿林东《中国封建社会内部分期的几种观点》，《历史研究》编辑部：《建国以来史学理论问题讨论举要》。济南：齐鲁书社，1983年。
[4]大多数史学家都认为自唐中叶至宋初的前后是我国封建社会内部两个不同阶段的分界线。参见瞿林东《中国封建社会内部分期的几种观点》。
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