李善兰与《九章筭术》及其刘徽注中的微分、积分异同

李善兰云：

凡线、面、体皆设为由小渐大，一刹那中所增之积即微分也。其全积即积分也。故积分逐层分之为无数微分，合无数微分仍为积分[5]。

伟烈亚力云：

微分不过求变几何最小变率之较耳。

又云：

积分者，合无数微分之积也[6]。

众所周知，积分的基本思想是将所求量分割成若干细小的部分，找出某种关系后，再把这些细小的部分用便于计算的形式积累起来，最后求出未知量的和。其中的关键是积累，严格的积分只是再加上积累过程中求极限的过程[7]。而微分就是自变量的无穷小增量。

由上面的分析，刘徽的《九章筭术注》中，“微分”“微数”都是微小的数，实际上是微小的奇零部分，亦即微小的分数，它与微积分学中的“微分”，即自变量的无穷小改变量有所不同，然而究其本质，有相近之处。而且刘徽的“微则无形”，就是无穷小，与微积分学中的“微分”更为接近。可见刘徽所使用的“微分”与微积分学中的“微分”（Differential）在本质上是一致的，只有低级与高级的差异。实际上，Differential在西方文字中就是“差”的意思。

《九章筭术》及其刘徽注中的“积分”“积尺”“积步”等分别是具有更小的分数单位的分数的积累、尺或立方尺的积累、平方步的积累，它们与微积分学中的“积分”也有所不同，但本质上也是一致的，也是只有低级与高级的差异。实际上，Integral在西方文字中就是“整个”的意思。

李善兰对中国传统数学造诣极深，他在通晓了微积分学的微分、积分概念之后，用《九章筭术》及其刘徽注中的术语“微分”翻译Differential，用“积分”翻译Integral，可谓恰到好处。(www.xing528.com)

刘徽《九章筭术注》中最接近微积分思想的是他对《九章筭术》圆面积公式“半周半径相乘得积步”的证明。其中的无穷小分割符合积分的基本思想，接近西方微积分发展早期的面积元素法。每个小等腰三角形相当于微分。可惜，李善兰对刘徽的证明未能重视。

参考文献

[1]郭书春.汇校《九章筭术》增补版.沈阳：辽宁教育出版社，台北：九章出版社，2004.本文凡引《九章筭术》及其刘徽注的文字，均据此.

[2]庄子·秋水.见郭庆藩：庄子集释.北京：中华书局，1961.

[3][西汉]刘安.淮南子.诸子集成.北京：中华书局，1954.

[4]郭书春.《筭数书》校勘.中国科技史料.2001，22（3）.

[5][清]李善兰.代微积拾级序.代微积拾级.上海：墨海书馆，1859.

[6][清]伟烈亚力.代微积拾级序.代微积拾级.上海：墨海书馆，1859.

[7]梁宗巨，王青建，孙宏安.世界数学通史，下册.沈阳：辽宁教育出版社，2001.