体积问题中的积分与积尺应用

1.积分

在体积问题中《九章筭术》没有使用“积分”这一术语，而在商功章关于体积问题的刘徽注中有二处使用了术语“积分”。一处在上面已经提到的委粟术注中。在那里，如果圆锥下周不能被3整除，就以3通分将圆锥下周的直径化成以为分数单位的分之积，所谓径之积分。将直径自乘，乘以高，就得到三个方锥的积分，也就是以为分数单位的方锥体积的分之积。

一处在圆亭术的刘徽注中。刘徽记述了前人对圆亭术的一种推导方法：就是使用π=3，用3除圆亭的上下周，得圆亭的上下径。如果能除尽，就以其径作为圆亭的外切方亭的上下方，由《九章筭术》的方亭体积公式求出其体积。然后利用圆亭与方亭体积之比为4∶3，由方亭求出圆亭体积。对于圆亭的上下周不能用3除尽的情形，刘徽云：

假令三约上下周，俱不尽，还通之，即各为上下径。令上下径相乘，又各自乘，并，以高乘之，为三方亭之积分。

就是说，设L1，L2分别是圆亭的上下周，在不可除尽的情况下，以3通分，L1，L2分别是上下径的以为分数单位的积分。计算（L1L2+L21+L22）h，它是3个以圆亭上径L1，下径L2分别为上、下底边长的大方亭的以为分数单位的积分，也就是以为分数单位的方亭体积的分之积。

2.积尺

《九章筭术》少广章的开立圆术用到了“积尺”：

开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立圆径。

“积尺”在商功章及其刘徽注中用的特别多。《九章筭术》城、垣、堤、沟、堑、渠术云：

术曰：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。

刘徽注云：

“又以袤乘之”者，得立实之积，故为积尺。

今有堤问所属冬程人功术：

术曰：以积尺为实，程功尺数为法。实如法而一，即用徒人数。

今有沟问所属春程人功术：

术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数。

刘徽注云：

以分母乘沟积尺为实者，法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺，故用徒人数不尽者，等数约之而命分也。

今有堑所属夏程人功术：

以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。

刘徽注云：

取其定功，乃通分内子以为法。以分母乘积尺为实者，为法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。

方堢壔术云：

术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。

方亭术刘徽注云：(www.xing528.com)

凡三品棋皆一而为三。故三而一，得积尺。

盘池所属负土问云：

问：人到积尺及用徒各几何？

负土术云：

术曰：以一笼积尺乘程行步数，为实。往来上下棚、除二当平道五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步以为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。

刘徽注云：

“以所到约积尺，即用徒人数”者，此一人之积除其众积尺，故得用徒人数。

《九章筭术》冥谷所属载土问：

问：人到积尺及用徒各几何？

其载土术：

术曰：以一车积尺乘程行步数，为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。

刘徽注云：

又亦可五百步为行率，令六人约车积尺数为一人到土率，以负土术入之。

刘徽注又云：

“以所到约积尺，即用徒人数”者，以一人所到积尺除其众积，故得用徒人数也。

《九章筭术》穿地问术：

术曰：置垣积尺，四之为实。

《九章筭术》今有仓问术：

术曰：置粟一万斛积尺为实。

《九章筭术》圆囷问术：

术曰：置米积尺，以十二乘之，令高而一，所得，开方除之，即周。

刘徽注云：

于徽术，当置米积尺，以三百一十四乘之，为实。二十五乘囷高，为法。所得，开方除之，即周也。

显然，这里的“积尺”全都是立方尺之积，即立方尺之积累。