刘徽的《九章筭术》中所提出的微数与微量的概念

为了理解刘徽此处所用的“微分”的涵义，我们先考察一下刘徽多次使用的“微”字的意义。刘徽多次使用“微多”“微少”，这里的“微”当然是“微小”。其中最著名的当属《九章筭术》商功章阳马术注中所提出的刘徽原理的证明中所使用的“微”。刘徽首先对阳马与鳖腝拼合成的堑堵进行分割，证明了其中的中阳马与鳖腝的体积之比为2∶1；再进行分割，证明了剩余的的中阳马与鳖腝的体积之比为2∶1；刘徽接着说：

半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？数而求穷之者，谓以情推，不用筹筭。

刘徽在这里是说：平分的部分越小，剩余的部分就越细。第n次分割没有证明其中阳马与鳖腝的体积之比为2∶1的部分为。非常细就叫作微，微就不再有形体。因此，没有剩余。在其中没有证明阳马与鳖腝的体积之比为2∶1的部分为零，也就是。刘徽的思想应该受到《庄子》《淮南子》的影响。《庄子·秋水》中河伯曰“至精无形”，北海若曰“夫精粗者，期于有形者也；无形者，数之所不能分也；不可围者，数之所不能穷也”[2]。《淮南子·要略》也说：“至微之论无形也。”[3]另外，刘徽这里“微则无形”的思想与卷一圆田术刘徽注割圆术的思想是一致的。在那里，刘徽说：

割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

都是典型的无穷小分割。

刘徽在《九章筭术》少广章开方术注中还提出了“微数”的概念。设被开方数是A，当开方不尽时，《九章筭术》主张“以面命之”，即以命名一个分数。这对注重应用的人来说，没有解决任何问题。刘徽之前，人们使用加借筭或不加借筭而命分的方法，他认为都不准确。因此，刘徽提出：

不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。

刘徽提出按照上述的开方程序继续开方，求既定的名数以下的部分。当开到无名数单位时，一退则求得的数以10作为分母，再退则求得的数以100作为分母，实际上是以十进分数逼近无理根。这样，开方时退得越多，分数就越细。在圆田术刘徽注求圆周率的过程中必须多次开方，比如求圆内接12边形的边心距，需要计算75，开方不尽，刘徽说：(www.xing528.com)

又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。

求出寸=866 025忽。

《九章筭术》少广章开立方术刘徽注云：

术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。

其意义与开方术刘徽注的“微数”相同。

显然，这里的“微数”就是微小的数。有的著述说，刘徽求微数是一个极限过程，似不妥当。刘徽讲得很清楚，最后要有“所弃之数”，可见并没有将极限过程进行到底，而是极限思想在近似计算中的应用。