《算学宝鉴》地位解析，揭示面积问题

从上面对面积问题的分析中可以看出，就数学计算的力求精确与推理的严格化而言，《算学宝鉴》与《九章比类》是有根本区别的。《九章比类》中许多面积问题的算法，尤其是不规则图形的算法，正如王文素所批评的，是“乘机就巧，法理不通”。在明朝理论数学落后这个大环境下，王文素像吴敬等其他数学家一样，不懂增乘开方法、天元术、四元术等宋元数学的杰出创造。但他的《算学宝鉴》继承了《九章算术》《杨辉算法》等算法精确、推理严谨的传统。就面积问题而言，他继承了传统出入相补方法。尤其是弧田论积部分，他进行了曲线图形的出入相补。刘徽注《九章算术》环田术把圆环看成两个圆的出入相补，此外，现传数学著作中再未见过曲线形的出入相补。王文素在提出了弧田系数之后，娴熟地运用弧田的出入相补，成功地解决了自宋元以来人们提出但未解决的与弧田有关的曲边形求积问题，是对中国数学的贡献。

我们知道，中国传统数学以理论联系实践为其主要特点，以解决人们生产生活中的数学问题为主要目的。这一特点与目的性固然造成了中国传统数学对理论的研究不像古希腊数学那样重视（当然，绝不是没有理论与理论研究），同时，也使中国传统数学受数字神秘主义影响较少（当然，也不是完全没有）。《九章算术》是中国传统数学的奠基性著作与典型代表，它奠定了中国传统数学的基本框架与特点，提出了大量抽象性公式与算法，使中国数学跃升到世界的前列。当然，其中也有少数粗疏甚至错误的公式。在《九章算术》之后，为之作注及以它为楷模编纂新的数学著作，成为中国传统数学著述的两种主要形式。这些著述在对算法的精确性与推理的严谨性的态度上产生了不同的分野。魏刘徽为《九章算术》作注（公元263年），以演绎逻辑为主，全面论证了《九章算术》的公式与解法，并将无穷小分割与极限思想引入数学证明，同时纠正了《九章算术》的粗疏与错误，理论贡献卓著。可惜刘徽的精神与方法、思想，除祖冲之（429—500年）的态度因《缀术》失传不得而知外，没有被后人继承发扬。其他的注释与著作也有不同的分野。大多数著作，如《孙子算经》《张丘建算经》《缉古算经》、贾宪的《黄帝九章算经细草》、秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的各种著作、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等，继承了《九章算术》的主流，既重视算法的严谨，又重视实际应用。当然，他们的态度也有差别，如李冶把数学看成读书人的学问，悯悼当时数学“堕于市井沾沾之儿及夫荒村下里蚩蚩之民”；杨辉、朱世杰则整理总结民间的乘除捷法，编成口诀，推动了新的计算工具珠算的产生与发展、普及。也有一部分著作，则沿袭《九章算术》中粗疏甚至错误的这一支流，《五曹算经》就是一个典型代表，它无视刘徽对《九章算术》使用周三径一及其他错误公式的批评，仍沿用《九章算术》粗疏或错误的公式，甚至又提出一些违背算理的错误。如果说《九章算术》的某些粗疏或错误是当时尚未找到正确的方法而不得不采用的近似算法而情有可原的话，那么《五曹算经》沿袭已被刘徽纠正的《九章算术》的错误，又提出一些违背算理与实际的算法，则完全反映了作者数学水平的低下。《算法全能集》《详明算法》等则继承了《五曹算经》的传统，无视杨辉对《五曹算经》的批评，继续其错误，又提出一些毫无算理可言的解法。通过这一分析，《九章比类》与《算学宝鉴》在中国数学史上的地位就十分清楚了。吴敬的《九章比类》是《五曹算经》《算法全能集》《详明算法》等传统的继承者，而王文素的《算学宝鉴》则是杨辉数学传统的继承者。从这个角度，我们大体可以将中国著名传统数学著作图示如下：

当然，这个分类不一定很准确。而且，这是就数学著作的理论而言的，而不是就贡献而言的。就贡献而言，《算法全能集》《详明算法》等与《杨辉算法》《算学启蒙》一样总结民间捷算法，对珠算的产生普及作出了贡献。

参考文献

[1][明]吴敬《九章算法比类大全》（明刻本）.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（2）.郑州：河南教育出版社，1993.本文凡引用吴敬语均据此.

[2][明]王文素《算学宝鉴》（抄本）.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（2）.郑州：河南教育出版社，1993.本文凡引用王文素语均据此.

[3]郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（2）.郑州：河南教育出版社，1993.

[4]郭书春汇校.九章算术.沈阳：辽宁教育出版社，1990.本文凡引用《九章算术》及其刘徽注均据此.*郭书春汇校.九章筭术新校.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

[5][宋]杨辉.杨辉算法·田亩比类乘除捷法.李俨藏日关孝和抄本的转抄本.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

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[7][明]程大位.算法统宗.康熙年闻刻本.梅荣照、李兆华校释.合肥：安徽教育出版社，1990.另：郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（2）.郑州：河南教育出版社，1993.(www.xing528.com)

[8]郭书春点校.五曹算经.郭书春、刘钝校点.算经十书（一）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[9][元]贾亨.算法全能集.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

[10][元]安止斋.详明算法.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

[11][汉]司马迁.史记·五帝本纪.北京：中华书局，1959.

[12]郭书春.古代世界数学泰斗刘徽.济南：山东科学技术出版社，1992.繁体字修订本.台湾明文书局，1995.*再修订本.山东科学技术出版社，2013.

【注释】

[1]抄本脱“钩”字，今校补。“述”，抄本讹作“迷”，今校正。

[2]此按《算学宝鉴》所引，与传本《田亩比类乘除捷法》稍异。

[3]*抄本脱“方”字，今补。

[4]抄本脱“阔”字，今校补。