圆田求积与圆周率的关系及应用

圆田求积离不开圆周率。圆周率的研究是中国传统数学的重要课题。《九章算术》《周髀算经》等著作都使用周三径一。刘歆（前50—23年）为王莽作铜斛，实际上使用了π=3.1 547，张衡（78—139）求出π=，而蔡邕（132—192）认为π=率的科学方法，并求出π=与π=两个近似值。他用前者修正了《九章算术》与圆有关的面积、体积公式，后来此率常称为徽率。此后何承天相当于提出π=，祖冲之又提出密率π=。[12]但李淳风等注释《九章算术》时将π=误称作密率，一直沿习到宋、元、明的数学著作。π=3，π=，π=是宋元数学著作中应用最多的三个圆周率。《算法全能集》《详明算法》等都使用π=3，而不使用另外二率；而水平比较高的数学著作如《数书九章》《详解九章算法》《杨辉算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》等则既使用π=3，也使用π=与π=。

这种分野在明代的吴敬《九章比类》与王文素的《算学宝鉴》中也有反映。吴敬的《九章比类》与《算法全能集》等一样，只使用π=3，而未提到徽率与密率。王文素的《算学宝鉴》的圆田求积节则列出并分别使用了当时流传的四个圆周率：

古率　周三径一

密率　周二十二径七(www.xing528.com)

徽率　周一百五十七径五十

璇玑　周二十五径八

和求圆面积的六个公式，以及解决环田、火塘田、钱田等面积的方法。他还比较了用密率与古法计算的结果，指出“与古法不合，其积为密率似合，智者详。”