天元术发展史经典文字：《四元玉鉴后序》元祖颐详解

关于天元术发展史的一段经典文字是元祖颐在《四元玉鉴后序》中写的。他说：

平阳蒋周撰《益古》，博陆李文一撰《照胆》，鹿泉石信道撰《钤经》，平水刘汝谐撰《如积释锁》，绛人元裕细草之，后人始知有天元也[1]。

祖颐的描述应该是天元术的史前史。所提到的各位作者的生平均不详，著作均不存。平阳即今山西临汾，博陆即今河北蠡县，鹿泉即今河北获鹿，平水即今山西新绛，绛即今山西曲沃，这些地方都在太行山两侧。元裕与李冶的好友元好问（1190—1257）是不是同一个人，自清中叶以来学术界即有不同看法。元好问，字裕之，秀容（今山西省忻州）人。罗士琳认为元裕即元好问，故将祖颐涉及到元裕的这句话改为“元裕之细草”。我们认为元裕不是元裕之。他们不仅一个是晋南，一个是晋北，籍贯不同，而且不考虑罗士琳的误改，则名字各异，更重要的是，元裕之与李冶同为“龙山三老”，活动在天元术成熟的时代，而元裕则是天元术的初创者。前已指出，《益古》即《益古集》，又称《益古算法》，已佚，因成为李冶使用天元术著《益古演段》的母本而部分保存在李冶该书中。《钤经》亦已佚，个别题目保存在李冶的《测圆海镜》中。《照胆》和《如积释锁》及其细草则没有留下任何只言片语。

奇怪地是，祖颐在这里没有提到通晓天元术的大数学家李冶。

李冶的《测圆海镜》《益古演段》不仅是流传至今的以天元术为主要方法的最早的数学著作，而且他的《敬斋古今黈》卷一还记述了天元术早期发展的某些宝贵资料。他说：

予至东平，得一算经，大概多明如积之术。以十九字志其上下层数。曰：仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。此盖以人为太极，而以天、地各自为元而陟降之。其说虽若肤浅，而其理颇为易晓。予遍观诸家如积图式，皆以天元在上，乘则升之，除则降之。独太原彭泽彦材法，立天元在下。凡今之印本《复轨》等书，俱下置天元者，悉踵习彦材法耳。彦材在数学中亦入域之贤也。而立法与古相反者，其意以为天本在上，动则不可复上。而必置于下，动则徐上，亦犹易卦乾在下，坤在上，二气相交而为太也。故以乘则降之，除则升之。求地元则反是[2]。

如果说祖颐的文字给出了天元术发展史前各种著作及其作者的嬗递脉络的话，那么李冶的这段文字则大体描述了天元术在其发展的初期的表示方法的演变概况。

从李冶的话可以看出，天元术是在道家或道教思想的影响下产生与发展的。天元术最早不是以一个字“元”表示未知数的，而是自上而下以仙、明、霄、汉等9个符号来表示未知数的正幂，以逝、泉、暗、鬼等9个符号来表示未知数的负幂。盖建民《道教科学思想发凡》认为这明显受到道教的影响，带有浓厚的道教色彩。姜生教授认为，这种表达方式暗示着道教数学在本质上的宇宙图式功能，是道教对宇宙结构的数学表达。由于整个中国传统数学没有产生高达十七八次的多项式，也没有这么高的次数的方程，这种看法有一定的道理。(www.xing528.com)

后来人们简化天元术的表示，只用一个符号“天元”并借助于位值制表示未知数的正幂，用“地元”表示未知数的负幂。并且皆采取天元在上，地元在下的方式。

彭泽彦材也是对天元术有突出贡献的当时知名的数学家，他受《周易》八卦“乾在下，坤在上，二气相交而为太”[3]思想的影响，颠倒天元和地元的位置，将正幂置于下，将负幂置于上。《周易》是道家思想的主要源泉之一。已经失传的《复轨》等著作采取彦材法。

再后来，人们取消了表示未知数的负幂的地元，只用“天元”，借助于位值制既可表示未知数的正幂，又可表示未知数的负幂，还可以表示常数项。开始仍采取正幂在上，负幂在下，沙克什的《河防通议》就是采用这种方式，应该源于13世纪初之前的金都水监本。这就是李冶在《测圆海镜》中所使用者。不久，人们又将其颠倒过来，采取正幂在下，负幂在上的方式，这就是李冶的《益古演段》、王恂和郭守敬的《授时历草》、朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》等所采用者，应该是天元式的标准表示方式。

这里有几个问题值得注意。首先，李冶本人和他谈到的洞渊、东平算经、彭泽彦材法、《复轨》等人或著作，在祖颐的文字中没有任何踪影。祖颐提到的《益古》《钤经》，李冶在《益古演段》《测圆海镜》中分别有引用。

其次，祖颐说元裕给刘如谐的《如积释锁》撰细草，“后人始知有天元”。换言之，在元裕之前的《益古》《照胆》《钤经》《如积释锁》等著作中没有天元术。这涉及到如何解读《测圆海镜》中关于《钤经》等著作的文字问题。

第三，李冶在天元术发展、完善过程中起了什么作用。李冶说，在人们还用“天元”“地元”分别表示一个多项式的正幂和负幂时，彭泽彦材就将正幂在上，负幂在下颠倒成正幂在下，负幂在上。可是，李冶在《测圆海镜》中只使用“天元”，却仍然是正幂在上，负幂在下。这说明天元术发展的进程在各位数学家那里不是同步的。那么，是谁取消了“地元”？梅荣照说：“李冶对天元式表示法的主要贡献是：他在《测圆海镜细草》中取消了用地元表示负数次幂，只用一个天元，并采用正数次幂在上，常数与负数次幂在下的排列顺序。”[4]应该说，由于天元术发展早期的全部著作皆已亡佚，而《测圆海镜》不是关于天元术的专门著作，只是以天元术为主要方法的著作，李冶在《测圆海镜》中首先取消地元，还是一种猜测。准确的说法是：《测圆海镜》是现存最早的只使用天元，不再使用地元表示未知数负幂的数学著作。《河防通议》中记载的天元术应该早于《测圆海镜》[5]。