《算法门》与《郭书春数学史自选集下册》中的沙克什的关系

沙克什与《算法门》的关系是学术界讨论不多，但却是一个十分重要的问题。《河防通议》通行的守山阁本、明辨斋本及《水利珍本丛书》本均源于自《永乐大典》抄录的《四库全书》本。[12]《四库全书》之提要一方面直书“《河防通议》二卷，元沙克什撰”，一方面又说是书“以宋沈立汴本及金都水监本汇合成编”，那么，沙克什对《河防通议》只是将二本重编、整理，合而为一，还是有自己的增补、撰述？《四库全书》的说法容易造成误会。有的学者说“本书反映了宋元时期的技术水平”[2]，蕴含了此书有沙克什撰述的意思。有的学者采取审慎的态度，比如郭涛文献[7]，专门注释与分析《河防通议·算法》，却通篇未出现沙克什的名字。我们进一步分析这个问题。

沙克什自序说：

愚患二本之得失互见，其丛杂纠纷，难于讨寻，因暇日擿而合之为一，削去冗长，考订舛讹，省其门，析其类，使粗有条贯，以便观览，而资实用云。[1]

沙克什说他自己只是考订、删削、重编，并未说到自己撰述之事。

传本《河防通议》有一些双行夹注。这些注，有的是汴本、监本原注，如输运门抬椿橛条注：“明昌七年本监申刑部准拟定例。”这显然是监本自注，本监是金都水监。有的是清四库馆臣案，如河议门释十二月水名条，有三条案语，均引《宋史·河渠志》中的文字与原文相对照。《宋史·河渠志》系元相脱脱主持编撰的，完成于至正五年（1345），在沙克什编定《河防通议》（1321）之后，不可能是沙克什及其前人的文字。以“案”字起头的双行夹注均应是四库馆臣的按语。有一部分双行夹注是沙克什注。在河议、制度、料例这前三门中有15条注明“汴本”，有9条注明“监本”，其中有的注“汴本、监本”，或“汴本，与监本少异，故两存之”，显然是沙克什注。前三门的部分条目及后三门的全部条目均未注明汴本、监本，但有的条目中有明昌二年（1191）、明昌六年（1195）、明昌七年（1196）、本监等字样，当属监本无疑。《算法门》诸条虽无这类指明年代、作者的内容，但有的注肯定是沙克什所写，如竹索积寸目第一条下注“此法未详，姑存其旧”，卷埽目除心索条注“此法甚要”，都是对所整理的对象的评论。这些显然都未超出“考订”的范围。《河防通议》所有条目均取同一书写体倒，都应是沙克什整理、重编的内容，而不是他的自撰。

总之，《河防通议》中的全部条目，都不是沙克什撰写的，他只是作了删削、整理。其中有一部分注是沙克什写的。

再分析天元术的表示法。天元术起于何时，已不可考。滹纳心斋祖颐为朱世杰《四元玉鉴》（1303）写的序说：“平阳蒋周撰《益古》，博陆李文一撰《照胆》，鹿泉石信道撰《钤经》，平水刘汝谐撰《如积释锁》，绛人元裕细草之，后人始知有天元也。”[13]这里提到的著作均失传，元裕是不是李冶好友元好问，亦未有定论。^[18]据认为，《益古》尚未使用天元术，李冶利用天元术给出了其开方式造术，撰成《益古演段》[14]。现存使用天元术的最早数学著作是李冶的《测圆海镜》[15]（1248），其中引用了《钤经》的题目，表明《钤经》可能已使用了天元术[16]。钱宝琮根据《算法统宗》[17]的记载推断天元术的产生可能早于《测圆海镜》一个世纪[11]。天元术的表示法有一个演变过程。天元术在发展到只用一个字表示未知数之后，先是天元的高次幂在上，低次幂（包括负幂及零次幂即常数项）在下，后来则倒过来。李冶在太原见到的彭泽彦材法，便最先使用高次幂在下，低次幂在上的方法[18]。李冶的两部著作《测圆海镜》《益古演段》（1259）恰恰反映了这种变化。就是说，1248年以前，天元的高次幂在上；1259年以后，则高次幂在下。以后的数学著作。均循彭泽彦材法。《河防通议》以表示x，以表示多项式0.3x+870，以表示多项式15x2+94 500x，等，都采取天元的高次幂在上，而常数项在下的表示法。显然，开河题的天元术解法应产生在1259年以前。这再一次证明，开河题不可能是沙克什设计的；当然，也不可能是11世纪北宋汴本的，因为那时还不可能产生天元术；亦不可能是南宋初《河事集》中的，因为没有证据证明南宋有懂天元术的人。开河题只能是金都水监本的。监本中可考年代者最晚是泰和三年（1202）颁布的河防令[2]。而金朝黄河决口及大的河防工役主要在大定八年至明昌年间（1168—1195）[19]，因此，监本应定稿于13世纪初之前。就是说，开河题应产生于这之前，并且，最迟在12世纪末，人们便能熟练运用开元术了。

开河题不用“元”字表示未知数的一次幂或用“太”字表示常数项来定位，而是将常数项放在最下定位，在没有常数项时，以〇表示。不知这是《河防通议》原来的方法多还是后人的改纂。此外，可以看出，所谓李冶时代还存在天、地二元，以天元表示正幂，以地元表示负幂，李冶的贡献在于取消了表示负幂的地元的说法[16]，是没有根据的，早在《测圆海镜》前半个世纪前，就没有地元了。

参考文献

[1]河防通议.[元]沙克什重订.四库全书文渊阁本.台北：商务印书馆.1986.另：守山阁丛书本.水利珍本丛书本.丛书集成初编本.

[2]姚汉源.中国水利史纲要.北京：中国水利电力出版社，1987：571，433.

[3][明]宋濂.元史·赡思传.北京：中华书局，1976：4 351～4 353.

[4]李迪.中国数学史简编.沈阳：辽宁人民出版社，1984：205～207.

[5]劳汉生.元代数学教育史（硕士论文，1987，未刊）.

[6]纪志刚.赡思与《河防通议》.李迪主编.中国少数民族科技史研究，第三辑.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1988：21，31.

[7]郭涛.数学在古代水利工程中的应用——《河防通议·算法》的注释与分析.农业考古.1994：285.

[8]郭书春：古代世界数学泰斗刘徽.济南：山东科学技术出版社，1992.繁体字修订本.台北明文书局，1995.*再修订本.山东科学技术出版社，2013.

[9]郭书春汇校.九章算术.沈阳：辽宁教育出版社，1990.*郭书春汇校.九章筭术新校.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

[10][唐]王孝通.缉古算经.天禄琳琅丛书本.北京：故宫博物院，1932.另：郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

[11]钱宝琮主编.中国数学史.北京：科学出版社，1964.*郭书春、刘钝，等主编.李俨钱宝琮科学史全集（5）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[12]颜元亮.《河防通议》提要.中华名著要籍精诠.北京：中国广播电视出版社，1994：232～233.

[13][元]滹纳心斋祖颐.四元玉鉴后序.白芙堂算学丛书本《四元玉鉴》.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

[14][元]李冶.益古演段.知不足斋丛书本.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

[15][元]李冶.测圆海镜.知不足斋丛书本.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.(www.xing528.com)

[16]梅荣照.李冶及其数学著作.钱宝琮等.宋元数学史论文集.北京：科学出版社，1966：104～147.

[17][明]程大位.算法统宗.康熙年间刻本.梅荣照、李兆华校释.合肥：安徽教育出版社，1990.另：郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（2）.郑州：河南教育出版社，1993.

[18][元]李冶.敬斋古今黈.北京：中华书局，1995.

[19][元]脱脱，等.金史·河渠志.北京：中华书局，1975：669～682.

【注释】

[1]各本“约之”讹作“乘之”，今校正，文献[7]校作“除之”。

[2]各本脱此句，今依文献[7]补。

[3]“一步折五尺”，各本讹作“高一丈”。各本脱“半之”，今校补。文献[7]将此改成“以长一丈约之”，仍于算理不合。

[4]天元一，四库全书本讹作“天天元一”，守山阁本脱“一”，今补。，守山阁本作“一”。

[5]，四库全书本讹作，今校正。守山阁本作“三”。

[6]，四库全书本讹作，脱“阔”字，守山阁本讹作八七三，脱“停”字，今校正。

[7]，四库全书本讹作，守山阁本讹作，今校正。四库全书本“截”讹作“藏”。

[8]，四库全书本讹作，今校正。守山阁本脱此式。

[9]此处，守山阁本衍。

[10]，四库全书本讹作，守山阁本讹作，今校正。

[11]四库全书本脱此二字，依守山阁本校正。

[12]归，四库全书本讹作“埽”，依守阁本校正。

[13]四库全书本脱“一千”二字，依守山阁本校正。

[14]“从”下，四库全书本衍一“万”字，依守山阁本校删。

[15]截阔，四库全书本误倒，今校正。“为停截阔”，守山阁本作“得九百三十六尺”，亦通。

[16]截停，四库全书本、守山阁本误倒，今校正。依上文，截停阔，指截住处上、下阔之平均值，而停截阔指所截部分两端停阔之平均值。

[17]并上、下截阔，守山阁本作“为上、下截阔并”，亦通。

[18]*此元裕肯定不是元好问。