圆周率密率验证-郭书春数学史自选集

全真道道士赵友钦著《革象新书》，其卷五的“句股测天”“乾象周髀”两节是数学问题。“乾象周髀”介绍了历代各家的圆周率值，认为以祖冲之的最为精密。他从直径为1 000寸的圆的内接正方形开始割圆，利用勾股定理，求出圆内接正8，16，32，…，16 384边形的边长，计算出圆内接正16 384边形的周长为3 141寸5分9厘2毫强，以113乘之，“果得三百五十五尺”，从而验证了祖冲之密率的精确性。他进而指出，“若节节求之，虽至千万次，其数终不穷”[26]这是刘徽极限思想千年之后的再现。

不过，赵友钦的方法与刘徽稍有不同。刘徽是在用极限思想和无穷小分割方法完成《九章筭术》圆面积公式的证明之后，从圆内接正六边形开始割圆，利用勾股定理，求出圆面积的近似值。然后代入《九章筭术》的圆面积公式，反求出圆周长的近似值，与圆直径相约，求得圆周率。[27]赵友钦因为是验证祖冲之的密率，没有求圆面积的近似值，只求出某一正多边形的边长，进而算出其周长，以密率的分母乘之，恰为密率的分子，从而完成验证。

参考文献

[1]郭书春汇校.九章算术.沈阳：辽宁教育出版社，1990.汇校《九章筭术》增补版.沈阳：辽宁教育出版社、台北：九章出版社，2004.郭书春汇校.九章筭术新校.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

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[13]盘山栖云王真人语录，道藏.明万历刊本.上海函芬楼影印，1 923～1 926.

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[15][元]李冶.泛说.转引自[6].

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[17][元]朱世杰.算学启蒙.郭书春主编.中国科学技术史·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993：1 123～1 200.

[18][元]朱世杰：四元玉鉴.郭书春主编.中国科学技术史·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993：1 205～1 280.又，中英文对照本《四元玉鉴》.郭书春今译，陈在新英译.沈阳：辽宁教育出版社，2005.

[19][元]祖颐.《四元玉鉴》后序.见[18].

[20]钱宝琮主编.中国数学史.北京：科学出版社，1964：175.又：郭书春、刘钝主编：李俨钱宝琮科学史全集（5）.沈阳：辽宁教育出版社，1998：194.

[21][宋]李思聪.洞渊集.道藏.明万历刊本.上海函芬楼影印，1 923～1 926.

[22]李迪.十三世纪我国数学家李冶.数学通报，1979（3）.

[23][清]阮元校刻.周易.十三经注疏.北京：中华书局，1980.

[24][元]李鹏飞.三元延寿参赞书·自序.1291.道藏.明万历刊本.上海函芬楼影印，1 923～1 926.

[25]黄帝阴符经，道藏.道藏.明万历刊本.上海函芬楼影印，1 923～1 926.

[26][元]赵友钦.革象新书.四库全书文渊阁本.台北：商务印书馆影印，1986.

[27]郭书春.古代世界数学泰斗刘徽.济南：山东科学技术出版社，1992：222～226.繁体字修订本.台北：明文书局，1995：222～226.再修订本.山东科学技术出版社，2013.

【注释】

[1]古代的“方程”，现在称为线性方程组。《九章筭术》有方程章，专门讨论线性方程组解法。

[2]六经指六部儒家经典。《庄子·天运》云：“孔子谓老聃曰：‘丘治《诗》《书》《礼》《乐》《易》《春秋》六经。’”

[3]许多著述认为《测圆海镜》《益古演段》是“对天元术进行系统叙述”的著作。此说似是而非。实际上，李冶在自序中没有一个字提到天元术。前者是为了解决勾股测圆问题，后者是为了解决田积问题，天元术只是其中的工具和方法。

[4]这是笔者修改《李冶的数学造诣与道家思想》时汲取姜生教授的意见。

[5]清罗士琳误认为元裕是元裕之，将“之”移“细草”之前，失之。