天元术与四元术对数学史的影响

李冶发现的《东平筭经》是一部天元术的早期著作，它用19个汉字分别表示未知数的不同幂次。[6]其中以仙、明、霄、汉等符号来表示天元，以逝、泉、暗、鬼等符号来代表地元，明显受到道教的影响，带有浓厚的道教色彩。[14]同时，这种表达方式暗示着道教数学在本质上的宇宙图式功能，是道教对宇宙结构的数学表达。^[4]

后来人们简化天元术的表示，只用天元表示未知数的正幂，地元表示未知数的负幂。李冶说：“予遍观诸家如积图式，皆以天元在上，乘则升之，除则降之。”只有太原彭泽彦材法“立天元在下”。李冶说：

立法与古相反者，其意以为天本在上，动则不可复上。而必置于下，动则徐上，亦犹易卦乾在下，坤在上，二气相交而为太也。[6]

李冶说，彭泽彦才法是受《周易》八卦“乾在下，坤在上，二气相交而为太”[23]思想的影响。《周易》是道家思想的主要源泉之一。

天元术发展成熟后，以及二元术、三元术、四元术中，均用“太”表示常数项。“太”即太极，是道教中的术语。太极是最原始的混沌之气，源于《周易·系辞上》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”[23]天元术中表示未知数的天元，二元术中表示未知数的天元、地元，三元术中表示未知数的天元、地元、人元，四元术中表示未知数的天元、地元、人元、物元，也都是道教术语。三元是道教的一个重要术语和思想概念。道教的三元思想渊源于周易的天、地、人三才说，《周易·说卦》云：“昔者圣人之作《易》也，将以顺性命之理。是以立天之道曰阴与阳，立地之道曰柔与刚，立人之道曰仁与义。兼三才而两之，故《易》六画而成卦。”[23]道门人士将《周易》的三才引入道教，泛指三种相互关联且意义重点的事物，称三元。[14]当然，对“三元”，道教不同的教派不同的著作有不同的解说，但以天元、地元、人元解释“三元”是相当普遍的一种。元代李鹏飞的《三元延寿参赞书》，以道教三元之说为全书的论述总纲，“人之寿，天元六十，地元六十，人元六十，共一百八十岁。”[24]“天”“地”“人”三元与“物”并列，在道教典籍《阴符经》[25]有一个经典的表达：“天地，万物之盗；万物，人之盗；人，万物之盗。三盗既宜，三才既安。”盖建民认为，这是说，天、地、人与万物之间存在着相互“盗取”互相依存的生态群落关系，强调要正确处理好天、地、人、万物之间的系统关系。那么作为天元术发展高峰的四元术，朱世杰的《四元玉鉴》天、地、人与物并列的“四象会元”方法极有可能也受到道教思想的影响。[14]总之，将天元、地元、人元、物元引入数学，表示未知数，应该说是受道教思想，特别是全真道思想影响的产物。(www.xing528.com)

祖颐在概述天元术和四元术的发展史时说：

平阳蒋周撰《益古》，博陆李文一撰《照胆》，鹿泉石信道撰《钤经》，平水刘汝谐撰《如积释锁》，绛人元裕细草之^[5]，后人始知有天元也。平阳李德载因撰《两仪群英集臻》，兼有地元，霍山邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》，末仅有人元二问。吾友燕山朱汉卿先生演数有年，探三才之赜，索《九章》之隐，按天、地、人、物立成四元。[19]

这里提到的对天元术、四元术的发展做出贡献的数学家，包括李冶在内，都活动在太行山两侧，是全真道盛行的地方。无论这些数学家是不是全真道道士，他们与全真道道士的关系是不是密切，不仅全真道观在战乱中为许多数学家提供了相对安定的学术环境，而且道教特别是全真道教的思想直接催生了天元术，并发展为二元术、三元术和四元术，则是无疑的。