秦九韶对多元一次方程组解法的贡献

《九章算术》用直除消元法解多元一次方程组，即欲消去某行中某一未知数，就用另一行中这个未知数的系数遍乘这一行各项，然后“令少行减多行，反复相减”，直至这一行该未知数的系数为零时止。公元263年，刘徽在《九章算术》方程章第七题注中，对二元一次方程组，提出了以欲消去的未知数系数互乘相减的消元法，并且说：“以小推大，虽四、五行不异也。”[6]但是，刘徽这种可贵的思想在此后近千年中没有得到应用和发展。直到1247年，秦九韶在《数书九章》中继承了《九章算术》的“方程术”，发挥了刘徽的思想，提出了新的方程术：

列积及物数于下，布行数，各对本色。有分者通之，可约者约之，为定率积列数。每以下项互遍乘之，每视其积以少减多，其下物数各随积正、负之类。如同名相减，异名相加，正无人负之，负无人正之。其如同名相加，异名相减，正无人正之，负无人负之。使其下项物数得一数者为法，其积为实，实如法而一。所得不计遍损或益诸积，各得法、实，除之。余仿此

秦九韶完全废弃了传统的直除消元法，而代之以互乘相减消元法，这是一个贡献。[5]

我们认为，在互乘相减过程中，秦九韶还有新的贡献。他的卷十七“均货推本”题的“草”中求出“音图”（下面，我们一律用现今代数学的表达式代替原来的筹算式），即

之后，想消去第三行x项的系数。他发现第三行x的系数为负，并且与第一行x的系数有等数5，就以5约525，得105，然后用105乘第一行，再加到第三行上，其他行不动，得到“政图”：

“今视政图，从省，乃择其诸行本色，可求等”，第一、四行x的系数可求等，第二、三行y的系数亦可求等。而x的系数等数大，y的系数等数小，就求第二、三行y的系数的等数3。以3约33，得11。以11乘第三行各项，又以3约105，得35。以35乘第二行各项，然后以第二行去减第三行，就消去了第三行中含有y的项，只剩下含有z的项。其余各行不动，得“宫图”：

如此相继求出x，y，z，u的值。

这就是说，秦九韶不是一般的互乘相减消元，而是先求出两行中要消去的未知数系数的等数，即公因子，用这个公因子分别约这两个系数，然后再互乘相消。实际上是将两个系数的最小公倍数投入运算。这样可以大大减少运算量，省了不少气力，秦九韶说这是“从省”，实是方程组解法的一大进步。此外，如果有两对（或两对以上）系数有等数，那么，一般选择其系数等数较小的未知数进行消元，也可以减少运算量，这种先易后难的程序是值得效法的。

我国古代数学没有素数和互素的概念。秦九韶的著作中也没有明确提出素数的概念。但是，他在数论方面有很深的造诣。秦九韶在解同余方程组、解高次方程、解一次方程组和其他数学问题中，广泛地运用了“可约者约之”的原则。在运算中，一般地，他把没有经过求等约简的数量关系称为“泛率”，而把经过求等约简的数量关系，称为“定率”，把经过约简的方程组称为“定率”方程组。如上面提到的“均货推本”题中，依题意列出方程组之后，首先运用“可约者约之”的原则，就每一行分别求等约简，化成“定率图”，这是解方程组的起点，所谓“始以定图为祖”。“定率图”就是一个定率方程组，其中每一行的各个系数（包括常数项）之间没有公因子。联系到上面讲的消元时以最小公倍数投入运算，应该说，秦九韶已经接近了素数和互素概念的门槛。讨论秦九韶这方面的贡献，不是本文的任务，但是，这至少可以说明，秦九韶创造求等约简再互乘相减消元的方法，不是偶然的，而是有深厚的数学基础的。

应当指出，秦九韶在均货推本题之前的推求物价题中，有许多可以先求等约简再互乘相减消元的地方，而没有这样做。就是在均货推本题中“定率图”化成“维图”的过程中，三、四两行u的系数有等数3，也没有约简，只是后来由“音图”化到“政图”，由“政图”化到“宫图”时，才进行了求等约简。这说明秦九韶在运算实践中逐步发现了求等约简互乘消元是个好方法，它有一个认识和发展的过程。但他没有十分看重它，没有写到术文中去当作一个原则使用，只是在算草中使用。(www.xing528.com)

参考文献

[1][宋]秦九韶.数书九章.清宜稼堂丛书本.1843.*郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

[2][元]李冶.测圆海镜，第4卷.知不足斋丛书本.*郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

[3][清]四库馆臣.数学九章提要.四库全书文渊阁本，第797册.台北：商务印书馆影印，1986.

[4][清]宋景昌.数书九章札记.见[1].

[5]钱宝琮.秦九韶《数书九章》研究.钱宝琮等.宋元数学史论文集.北京：科学出版社，1966：60～103.*郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（9）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[6]钱宝琮，校点.九章算术.北京：中华书局，1963.*郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（4）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.*郭书春汇校.九章筭术新校.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

[7]郭书春.《九章算术》中的整数句股形研究.科技史文集，第8集（数学史专辑）.上海科学技术出版社，1982.

[8][宋]秦九韶.数学九章.明赵琦美抄本.北京图书馆藏本.