北宋社会与数学：从门阀制到官僚地主制的变革

中国在宋元时期出现数学高潮，在南宋末世出现秦九韶这样伟大的数学家，不是偶然的。

唐中叶至北宋初年，中国社会的经济、政治和思想文化方面产生了新的变革。农业生产的进步，为手工业的发展开辟了道路，并促进了商品经济的繁荣，从而极大地冲击着魏晋以来以庄园农奴式经济为主导的经济体制，地主阶级不再按等级占田，主要以购买扩大土地的占有。政府掌握的“官田”，也采取租佃经营或出卖。土地的商品化取代了土地国有制。同时，魏晋以来的门阀世族及其部曲佃客制度已经完全瓦解，宋朝的官僚地主以品级高低而不是以门阀决定其社会地位。地主阶级的剥削方式变成以实物地租为主，劳役地租退居次要地位。部曲佃客制完全被租佃制代替，佃农不再是地主的私属，而是编入国家户籍，有较大的人身自由。农民的生产积极性大为提高。同时，思想界还相对宽松，产生了程朱理学。但理学家们的思想并不一致，经常互相争辩。理学对数学和科学技术发展的影响是负面还是正面，值得进一步研究。

社会的变革及生产力的发展给数学和科学技术的发展带来新的活力。指南针用于航海，火药用于军事，印刷术用于印刷文史和数学经典，都始于北宋。印刷和造纸对数学和科学技术知识的传播，进而对其发展的作用是不可估量的。

北宋比较重视数学。11世纪上半叶出现了以楚衍、贾宪、朱吉等师徒为核心的数学研究团队。在利用雕版印刷文史典籍后约100年，元丰七年（1084），秘书省刊刻了《周髀筭经》《九章筭术》等十部算经，是为世界数学史上首次印刷数学著作。13世纪初，南宋鲍澣之翻刻了这些算经，是为世界上现存最早的印刷本数学著作。宋元许多数学著作成书不久即被刊刻。算学馆在北宋尽管几经置废，但大部分时间还是存在的；崇宁（1102—1106）间还发布国子监筭学令，对教材、考试要求以及算学馆的官职，科举科目等都做了规定。[4]大观三年（1109），礼部颁布“算学祀典”，给五代前66位数学家、历算学家加封五等爵，陪祀孔子。[5]北宋之前，除了隋唐设算学馆和明算科之外，数学活动基本上是个人的行为。北宋则不然，设算学馆，印数学著作，立算学祀典，都是中央政府的举措。可以说，明之前，没有任何一个王朝像北宋这样重视数学。

这一时期的数学发展有一些与过去不同的特点。首先是追求简捷运算。一是适应商业交换的繁荣，自唐中叶起，人们创造各种乘除捷算法，编成许多口诀。口诀的改进、简化，导致最迟在南宋发明了珠算盘。二是简化运算的思想从民间数学渗入高深的数学，贾宪创造了具有更强程序化更加简捷的增乘开方法。

其次，开展专题研究，出现以某一课题为研究对象的专门性著作。唐以前的数学著述大都是综合性的。宋元时期，许多数学家分别关注某一个和某几个专题。比如“洞渊九容”就是专门研究若干句股形和一个圆的九种相切关系，元李冶由此演绎成《测圆海镜》，是一部讨论句股容圆的专题著作。[6]此外，如南宋杨辉的《乘除通变本末》是专门研究乘除捷算法的著作；北宋刘益的《议古根源》及杨辉由此演绎出来的《田亩比类乘除捷法》，是专门研究田亩计算的著作。(www.xing528.com)

第三，开方术的研究受到空前重视。开方术一直是传统数学著作的重要内容，在宋元达到一个新的阶段。这包括两个方面。一是开方技术的改进，贾宪总结出立成释锁法，并创造贾宪三角作为其“立成”；更重要地，贾宪创造增乘开方法，刘益在祖冲之的《缀术》失传之后重新引入负系数方程，秦九韶、李冶、朱世杰等将以增乘开方法为主导开方术发展为求高次方程正根的完备方法。一是设未知数列方程的方法，这就是天元术。后来又发展为二元术、三元术和四元术。

第四，出现纯数学研究的著作。中国古代实际上存在着纯数学和应用数学的分野。比如，刘徽的《九章筭术注》基本上是纯数学，但这是为已有的著作作注，而不是独立的著作。宋元数学固然继承了理论密切联系实际的传统，但是有的与应用关系不大，比如李冶的《测圆海镜》就是一部典型的纯数学著作。

第五，特别重视有关军事的数学问题。北周甄鸾的《五曹筭经》中就有“兵曹”卷，然而方法非常浅近。《数书九章》适应抗金、抗蒙战争的需要，特设军旅类，全书提出11个直接与军事有关的军旅问题，占13%多，要用到句股、重差、开方等比较高深的方法，这在宋元以前是罕见的。

第六，探讨数学与道的关系。宋元时期思想界关于“道”及“道”与“器”的关系的讨论比较深入。比如秦九韶的同代人、理学家黄震就认为“道不离器”，道就是“日用常行之理”，主张经世致用。[7]杰出的数学家受到思想界的影响，也在探讨这类哲理问题。他们对数学功能的认识，尽管还遵循着传统思想。但是，不管是南方的秦九韶还是北方的李冶，都将数学与“道”联系起来。秦九韶说“数与道非二本”，愿将自己的数学知识“进之于道”。李冶在谈到自己研究数学不被人们理解时感慨说：“由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐，亦不免为一技。由技进乎道者言之，石之斤，扁之轮，非圣人之所与乎？”因此，李冶主张“推自然之理，以明自然之数”[6]，与数学不可知论划清了界限。