贾宪：宋元数学开创者，对数学方法和问题进行分类

给《九章算术》作注，是13世纪以前中国数学著述的一种重要形式。就其成就来说，贾宪的《黄帝九章算经细草》可以与刘徽注相媲美。刘徽全面论证了《九章算术》的解法公式，奠定了中国古代数学的理论基础，贾宪则对《九章算术》中从数学上看未臻完善的解法、公式进行加工，抽象成具有普适性的解法、公式，把中国古代的数学理论提高到一个新的阶段。两人都对算法理论贡献卓著，不过刘徽最杰出的成就是把无穷小分割思想引入数学证明，而贾宪则主要是算法的创新和程序化思想的发展。刘徽注开创了中国魏晋南北朝的数学高潮，这个高潮由于祖冲之《缀术》在隋、唐“学官莫能究其深奥，是故废而不理”[9]而失传，除祖冲之父子π的计算和球体积的解决深受刘徽影响外，其全貌至今尚不清楚。贾宪的数学工作开创了宋元数学高潮，由于13世纪几部重要数学著作在清中叶以后重新面世，我们对这个高潮的成就和贾宪的影响有了比较清晰的轮廊。

首先，它成为杨辉作《详解九章算法》的底本。贾宪对各种解法的抽象，对各种新解法的探索，成为杨辉解题、比类，尤其是作“纂类”，对《九章算术》的方法和问题进行重新分类的基础。《九章算术》在南宋多次刊刻，成为促进宋元数学高潮的直接因素，贾宪的细草本《九章算术》在1148年刊刻，是流传较广的版本之一。后来，也成为吴敬、程大位著述的滥觞。

其次，贾宪的增乘开方法，中经刘益（12世纪），到南宋秦九韶著《数书九章》（1247），提出正负开方术，发展为十分完备的求高次方程正根的方法，李冶、朱世杰也都谙熟这种方法。高次方程正根的研究促进了天元术的诞生，李冶《测圆海镜》（1248）娴熟地使用了天元术。方程论是宋元数学中最有成就的课题，盖导源于贾宪。

第三，“开方作法本源”即贾宪三角不仅用于开高次方，而且成为解决高阶等差级数求和问题的有力工具。朱世杰《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）系统解决了高阶等差级数求和高次招差问题。他用平行于左右两斜边的两组平行线将贾宪三角中诸数字联结起来，容易发现，下一行诸廉中任一系数恰等于上一行中其肩上两系数之和，并且，第p条斜线前r个数之和恰等于第p+1条斜线上第r个数，即

令p=1，2，…就得出朱世杰的高阶等差级数求和公式。[10]这也相当于将贾宪三角中前一斜线前r项之和落到下一斜线的第r项，这就是为什么朱世杰将他的求和公式自p=2起依次称作落一形垛（三角垛）、三角落一形垛（撒星形垛）、撒星更落一形垛（三角撒星形垛）、三角撒星更落一形垛，它们实际上就是贾宪三角中第二、三、四、五行斜线。因此，朱世杰高阶等差级数求和公式是从贾宪三角直接推得的。

由此可见，宋元数学的大部分成就，除大衍总数术由于贾宪另一部数学著作《算法敩古集》失传不得而知外，都是在贾宪工作的基础上发展起来的。贾宪是宋元数学昀奠基者，他理应与秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰一道被列入宋元最杰出的数学家之林。

参考文献

[1][宋]王洙.王氏谈录.四库全书文渊阁本.台北：商务印书馆，1983.

[2]钱宝琮主编.中国数学史.北京：科学出版社，1964.*郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（5）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[3]严敦杰.宋杨辉算书考.钱宝琮，等.宋元数学史论文集.北京：科学出版社，1965.

[4]郭书春.贾宪《黄帝九章算经细草》初探.自然科学史研究.1988，4.

[5]九章算术.钱宝琮校点.钱宝琮校点.算经十书.北京：中华书局，1963.*郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（4）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[6][明]永乐大典，卷16344.北京：中华书局，1960.*郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

[7]钱宝琮.增乘开方法的历史发展.钱宝琮，等.宋元数学史论文集.北京：科学出版社，1966.*郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（9）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[8][宋]杨辉.详解九章算法.宜稼堂丛书本，1843.*郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

[9][唐]魏征，等.隋书·律历志上.北京：中华书局，1973.

[10][元]朱世杰.四元玉鉴.宛委别藏本.*郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

【注释】

[1]《永乐大典》卷16344所引，脱“尽”字，依同卷抄“纂类”及《宜稼堂丛书》本《详解九章算法·九章纂类》所引补。此两处“法曰”前有“贾宪立成释锁平方”八字。(www.xing528.com)

[2]“半和”，《宜稼堂丛书》本讹作“弦”，今校正。

[3]“股”，《宜稼堂丛书》本讹作“高”，今校正。

[4]杨辉的《详解九算法·九章纂类》将此法分成两法。“得句中容方”以上为“句股旁要法”。以下为“余句股求容积法”，下“股长”“句阔”分别作“余股”“余句”。则公式为余股=容直÷余勾，余勾=容直÷余股。

[5]此六行，《宜稼堂丛书》本误作大字，今校正。

[6]此六行，《宜稼堂丛书》本误作大字，今校正。

[7]此六行，《宜稼堂丛书》本误作大字，今校正。

[8]“下”，《宜稼堂丛书》本讹作“上”，今校正。

[9]此六行，《宜稼堂丛书》本误作大字，今校正。

[10]此六行，《宜稼堂丛书》本误作大字，今校正。

[11]此六行，《宜稼堂丛书》本误作大字，今校正。

[12]“差”与“六十六”，《宜稼堂丛书》本倒置，“六十六”误作大字，今校正。

[13]“升”与“七”，《宜稼堂丛书》本倒置，七误作大字，今校正。

[14]《宜稼堂丛书》本脱“实”“之”二字，“得六十六分升之七”误作大字，今校正。

[15]“得八”，《宜稼堂丛书》本讹作大字，今校正。

[16]“合问”，《宜稼堂丛书》本讹作小字，今校正。

[17]“七十”“四十”，《宜稼堂丛书》本讹作大字，今校正。

[18]“七十”“四十”，《宜稼堂丛书》本讹作大字，今校正。