贾宪对《九章算术》均输、盈不足章的大多数问题都另写了法(术)或草,其中有一些问题,尤其是盈不足问题,都提出了与《九章算术》不同或全新的解法。如均输章“九节竹”问,《九章算术》用衰分术求解。贾宪则提出了用课分法、减分法的解法,并分别列出求上下差率、求升法、求差实、求差率的方法,所谓“都术有四”。贾宪又提出用方程术求差率的方法:
方程术求术草曰大字为术,小字为草。:排列节数、差、升,
右 上四节 六个差 容三升[5]
左 下三节 二十一差 容四升[6]
命节多行为主,右上四节。增乘少行。乘得
右 上四节 六个差 容三升[7]
左 下[8]十二节 八十四差 容十六升[9]
以原多节行右行。对减,三度对减
右 上四节 六个差 容三升[10]
左 六十六 容七升[11]
差六十六[12]为法,升七[13]为实。实不满法便命之,得六十六分升之七。[14]即一差之数。[8](www.xing528.com)
不过,求第一节所容时,贾宪未用方程术。
贾宪对盈不足章的问题提出了更多的方法。如“故粝问米”“持钱之蜀”“油自和漆”三问用互换法(即今有术)求解,“瓜瓠求逢”问用合率术求解,“二酒求价”“金银易重”“善恶求田”三问用分率术求解,“二器求容”问用方程术求解,这些都基于问题本来的性质。“玉石互隐”问《九章算术》列入盈不足章,然未用盈不足术求解,而是用贾宪称之为“分率术”的方法,贾宪又设计了“两不足术”,方符合列入盈不足章之本意。我们简要介绍贾宪的互换术、合率术和分率术。
互换术即今有术,以“油自和漆”问为例。互换草曰:
以所有漆三斗。乘所求出漆率、三,得九。易油率、四,得十二。和漆率,五,得十五。各自为实。并出漆率、三。和漆率五。为法,得八。[15]除之,合问。[8]
这里以所有漆为所有数,以出漆率、易油率、和漆率分别为所求率,以出漆率与和漆率之和为所有率。
合率术是除数为几个数(或整数,或分数)的除法。因此,《九章算术》少广章的少广术及均输章的凫雁类问题的方法,贾宪都称为合率术。以“瓜瓠求逢”问为例。
合率术草曰:以垣高为实,九尺。并瓜瓠蔓长为法。一尺七寸。实如法而一,除之。合问[16]。[8]
狭义的分率术相当于鸡兔同笼问题解法,杨辉把《九章算术》的“其率术”“反其率”术也包括在内。贾宪的有关部分失传,不知贾宪是否如是。以“二酒求价”说明贾宪的分率术:
分率术曰:置共物,二斗。乘贵价,五十。减都钱,三十。余七十。[17]为实,以贱价一十。减贵价,五十。余四十。[18]为法,除之得行酒。一斗七升五合。减共物,二斗。余二升五合。为醇酒,贵价。[8]
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