中国数学史上第一个直接开四次方的方法

增乘开方法是用递增方法即随乘随加方法达到与立成释锁法运用贾宪三角各廉异曲同工的目的。它是贾宪最重大的贡献。现存《详解九章算法》中有关增乘开方法的内容有：

《九章算术》开平方三问后的“增乘开平方法”及第三问的“增乘开平方图”；

《九章算术》开立方第一问下“增乘方法草”，法、草合一；

《九章算术》开立圆部分贾宪另设问题“积一百六十四万四千八百六十六尺四寸三分七厘五毫。问：为立圆径几何？”所提出的立圆法及草中，求出实之后均云“开增乘立方除之”；

贾宪另设开四次方问题“积一百三十三万六千三百三十六尺。问：为三乘方几何？”并提出“递增三乘开方法草”。

以上均见于《永乐大典》卷16344引杨辉《详解九章算法》中，[6]同卷引杨辉《纂类》及《宜稼堂丛书》本《详解九章算法·九章纂类》[8]中均载“增乘开平方法”“增乘（开立）方法”，两本文字稍异而无伤大体。(www.xing528.com)

我们以“递增三乘开方法”为例说明贾宪的方法。它不仅是中国数学史上第一个直接开四次方的方法，也是首次出现的增乘开四次方的程序。过去它被误认为是杨辉所撰而不被重视，因为杨辉活动在13世纪，开四次方已不足为奇。贾宪的文字是法、草合一，以大小字区别，为与下面图示相应，分成（1）～（6）步。

递增三乘开方法草曰：上商得数，下法增为立方除实，即原乘意。（1）置积为实。别置一筭，名曰下法。于实末常超三位，约实。一乘超一位，三乘超三位。万下定实。（2）上商得数，三十。乘下法，生下廉，三十。乘下廉，生上廉。九百。乘上廉，生立方。二万七千。命上商，除实。余五十二万六千三百三十六。（3）作法：商第二位得数。以上商乘下法，入下廉。共六十。乘下廉入上廉。共二千七百。乘上廉入方。共一十万八千。（4）又乘下法入下廉。共九十。乘下廉入上廉。共五千四百。又乘下法入下廉。共一百二十。（5）方一、上廉二、下廉三、下法四退。方一十万八千，上廉五千四百，下廉一百二十，下法定一。（6）又于上商之次续商置得数。第二位：四。以乘下法入廉。一百二十四。乘下廉入上廉。共五千八百九十六。乘上廉，并为立方。一十三万一千五百八十四。命上商，除实，尽，得三乘方一面之数。如三位立方，依第二位取用。[6]

依贾宪增乘开平方图，其计算草图应为（以阿拉伯数字表示）：

这说明，贾宪确实已解决了高于三次的开方问题。显然，它比立成释锁法简便整齐。比如开四次方，求得初商a之后，立成释锁法要利用贾宪三角第五层1，4，6，4，1，计算4a，6a2，4a3，求出相当于减根方程x41+4ax31+6a2x21+4a3x1=A-a4的开方式。至于求出第二位得数之后的计算更繁锁。增乘开方法只要作好第一步布位定位之后，掌握退位步数，其余的程序对任何次方都相同，非常容易掌握。开方次数愈高，商的位数愈多，愈显其优越性。在西方，直到19世纪初才创造出同类方法，他们称作霍纳法。