贾宪三角和立成释锁方法

贾宪数学上第一个贡献是提出立成释锁方法和贾宪三角即开方作法本源。

求二次及其以上的方程的正根，中国古代叫作开方术。它是我国古代数学的一个主要课题。《九章算术》记载了完整的开方程序，一直到宋元，开方术几乎是每部数学著作所必须讨论的问题。不过，到唐为止，未超出开三次方。王孝通《缉古算经》有形如x4+bx2=c的开方，是通过两次开方求其正根，相当于作变换y=x2，求y2+by=c的正根，未见开四次方的一般程序。而且，贾宪以前的程序都有某些不足，比如《九章算术》中，在议得根的某一位得数（设第一位a，第二位b后，其“除实”是以此得数的比开方次数低一次的多项式（开平方是a及2a+b，开立方是a2及3a2+3ab+b2）为法，使得“实如法”得到的整数恰恰是该位得数。此“除”，是除法。显然，它还保留了开方由除法脱胎出来的痕迹。术语“开方除之”的本义就在此。另外，在求减根方程时，《九章算术》要重布筹式：“复置借筭，步之如初”[5]，显得繁琐。刘徽注开方术，将“除实”的意义解释成以得数与开方次数相等的幂次（开平方是a2及（2a+b）b，立方是a3及（3a2+3ab+b2）减实，此“除”，是减的意思。这无疑是程序上的进步。南北朝《孙子算经》《张丘建算经》只有开平方的方法，它们继承刘徽关于“除实”的改进，并采取将下法退位的方式求减根方程，不再重布筹式，使开方程序更具连续性，也是一个进步。然而，它们的术文都未离开例题的具体数字，而不是一般性表述，同时，求减根方程时将上商（的十倍）置于方法和下法（即借算）之间，《孙子算经》称为“廉法”，《张丘建算经》称为“隅法”，以方、廉（或隅）二法命上商除实，把开平方原来的四行布算变成五行布算。比《九章算术》和刘徽的水平又退步了。

贾宪的立成释锁方法继承了《九章算术》以来的诸方法，扬弃了它们的不足。我们以开平方为例说明之。

法曰：置积为实，别置一筭，名曰下法，于实数之下。自末位常超一位，约实，至首位尽而止。于实上商置第一位得数，下法之上亦置上商数，名曰方法。命上商除实。二乘方法，一退为廉，下法再退。于上商之次续商第二位得数。于廉法之次照上商置隅，以方、廉二法皆命上商，除实。二乘隅法，并入廉法，一退，下法再退。商置第三位得数，下法之上照上商置隅，以廉、隅二法皆命上商，除实，尽^[1]，得平方一面之数。[6](www.xing528.com)

在这里，贾宪摈弃《孙子算经》《张丘建算经》将具体数字写进术文的缺陷，提出了一般性术文，同时开平方采用商、实、方（廉）法、下法四行布算（开立方则五行），恢复了《九章算术》的传统。同时，吸取刘徽和《孙子算经》《张丘建算经》的长处，以商的得数与开方次数相等的幂次减实，将方（廉）法、下法退位求减根方程。可以说，立成释锁法才把《九章算术》的开方法发展为与现今方法无异的方法，笼统地说它就是《九章算术》的开方法是不妥的。

贾宪三角即开方作法本源。它的提出，表明贾宪已将上述开方法推广到任意高次幂。贾宪三角在西方称为巴斯加三角，实际上是二项式定理系数表，杨辉在“开方作法本源”六字下注“出释锁算书，贾宪用此术”。看来，它最先不是出现在《黄帝九章算经细草》中，而是一部称作《释锁》的算书中。贾宪三角下面五句话：“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉。以廉乘商方，命实而除之。”前三句说明了贾宪三角的结构，即积、隅、廉法的位置。后两句概括地提示了它们在开方法中的作用。显然，这里的开方法就是立成释锁法。贾宪三角是从立成释锁方法抽象出来加以提高、规范，又用来指导更高次的开方，故称开方作法本源。

贾宪还提出了“释锁求廉本源”，即“增乘方求廉法”，钱宝琮先生已有详尽论述，[7]此不赘述。求廉的增乘方法的核心是随乘随加，即变乘法为加法。我们知道，自唐中叶起，随着商业的发展，筹算技术不断改进，其中重要的一项内容就是化乘除为加减。贾宪可能由此受到启示，提出了“增乘方求廉法”。同时，这种随乘随加的增乘方法可以直接推广到开方程序中，这就是增乘开方法。