①本文系在“纪念祖冲之逝世1500周年国际学术讨论会”上的报告（河北涞水，2000.10），发表于《数学史研究》第7期。
《缀术》是祖冲之所作，还是祖暅之所作，中国数学史界至今没有定论，在可以预见的将来，也不可能有定论。不过，有两点是可以肯定的：一，它是祖冲之父子的著作；二，它是中国自汉魏至隋唐水平最高的数学著作。李淳风高度评价了祖冲之的数学贡献，认为“指要精密，算氏之最者也”。他所著的《缀术》，因“学官莫能究其深奥，是故废而不理”[1]，遂失传。稍前于李淳风的王孝通却对《缀术》横加指责，他说：“其祖暅之《缀术》，时人称之精妙，曾不觉方邑进行之术全错不通，刍亭[1]、方亭之问，于理未尽。”[2]那么，到底是《缀术》“全错不通”还是王孝通“莫能究其深奥”？这一问题虽未引起广泛的讨论，学术界却一直有不同的看法。约10年前，笔者在《古代世界数学泰斗刘徽》中认为：“王孝通对《缀术》的指责表明王氏不能理解祖家父子的数学创造，而不是相反。”[3]然而，当时对这种看法的理由说得不充分，现阐述如下。
首先，考察中国传统数学的发展脉络，隋唐虽然是封建盛世，数学上也有设立算学馆，整理十部算经等举措，但除在天文历法的计算中先后使用了等间距和不等间距内插法外，几无创造。其在数学成就与数学理论上不仅远低于后来的宋元，而且远低于前此的魏晋南北朝。人们往往只注意明朝数学的落后——它适逢西方文艺复兴前后，西方数学崛起，随后是变量数学的产生，中国从此失去了数学大国的地位，以至于700年后的今天，还没有完全翻过身来，容易引起重视，而同时却忽视了隋唐数学的落后。因为一方面宋元数学的高潮掩盖了在它前面曾经出现过的低潮，另一方面设立算学馆、明算科，整理十部算经等举措给人以繁荣的假象；同时，人们也不容易将封建盛世与数学这一重要学科落后联系起来，甚至乾嘉时期人们还认为数学“显于唐，晦于宋”[4]。实际上，隋唐时期没有出现过一位可以与其前张苍、刘徽、祖冲之，其后贾宪、秦九韶、李冶、朱世杰等比肩的数学家，也没有创作过一部可以与其前《九章算术》《九章算术注》《缀术》，其后《黄帝九章算经细草》《数书九章》《测圆海镜》《详解九章算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》等等量齐观的数学著作。王孝通的《缉古算经》在解决土木工程中的数学问题上有所推进，其主要贡献是三次方程。而据钱宝琮考证，祖冲之已能解负系数三次方程[5]，要比王孝通还高明。李淳风等整理十部算经，很有贡献，然而，除《周髀算经注释》比赵爽注有所推进外，他们对其他算经的注释，意义都不大。尤其是对《九章算术》的注释，从整体上讲，无论是数学成就还是数学理论，都是远远低于刘徽注的作品[3]。应该说，王孝通、李淳风是唐朝最有名的两位数学家。他们尚且如此，遑论其他。事实上，李淳风已经发现隋和唐初的数学不如前代，指出当时的算学馆学官（相当于今天的北京大学数学系教授）对《缀术》“莫能究其深奥，是故废而不理”。这一状况的直接后果是造成《缀术》失传的悲剧。《缀术》列入算学馆教材[6]。但是，是不是实施了教学活动，我很怀疑。教师都不懂，怎样教学生？只好“废而不理”。此语出自一位当时的大数学家，应该是可信的。《唐六典》等史书反映的只是官方文件，而官方文件总不会百分之百被实行的，任何社会都是这样，唐初也不会例外。
顺便说一下《缀术》的失传问题。笔者认为，《缀术》的失传不是在宋初，而是在唐初之后，很可能在安史之乱时。当时没有印刷术，《缀术》只有几个抄本，被废而不理，是很难流传下来的，特别，经不起大的全国性的战乱。在安史之乱之后，又有唐末的大战乱和五代十国的纷争。无论如何，是流传不到宋初的。史书说楚衍“于《九章》《缉古》《缀术》《海岛》诸算经尤得其妙”[7]，只不过是史家信笔书来，并不是完全靠得住的。楚衍是宋初天算家的领袖，贾宪的老师，天圣初（1023）与宋行古等制《崇天历》，皇祐（1049—1053）中造《司晨星漏历》，后来与周琮同管司天监。可见，最迟在11世纪50年代，楚衍还积极地从事科学活动。宋朝从建国到整个11世纪，没有发生过大的社会动乱或打击文化人的活动，如果楚衍还看到过《缀术》，那么，不到30年后的元丰七年（1084）秘书省刻十部算经时，不会找不到《缀术》而付之阙如。总之，是隋唐数学的落后导致了《缀术》的失传。
其次，与第一点相联系的，我们考察一下李淳风、王孝通对刘徽、祖冲之父子的指责。先看李淳风等对刘徽的指责，主要有三处。第一处是《九章算术》方田章方田术注释中，李淳风等针对刘徽注关于“凡广从相乘谓之幂”的定义，一方面说“观斯注意，积幂义同”；一方面又由幂字的本义，说“循名责实，二者全殊”，指责刘徽关于幂的定义“全乖积步之本义”，表示要“存善去非，略为料简，遗诸后学”[8]。这种指责是没有道理的。《九章算术》没有幂的概念，它所使用的积既可以是面积又可以是体积。刘徽则在其中划出广从相乘这种积，称为幂，也就是现在所说的面积。显然，幂是积的一种。换言之，幂是积，而积不一定是幂。在逻辑上，幂是种，积是属，广从相乘是种差。刘徽关于幂的定义符合逻辑学中定义等于属加种差的要求，是十分严谨的。李淳风等既看不出积、幂的相同之处，又看不出它们的区别，指责正确的刘徽，恰恰暴露了自己逻辑修养和数学水平的低下，起码远远低于刘徽[3]。
第二处是方田章圆田术注释，李淳风等说，对周三径一，“刘徽将以为疏，遂乃改张其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲之为密。故显之于徽术之下，冀学者之所裁焉。”[8]李淳风等表彰祖冲之求圆周率的成绩是完全正确的，然而贬斥刘徽则是十分错误的。祖冲之与刘徽，没有是与非的问题，只有圆周率精确度的问题。在中国数学史上，是刘徽首先创造了在正确的数学理论基础之上的求圆周率的程序。科学的理论、正确的方法的建立，其意义远比它们的应用重要。祖冲之求圆周率的程序没有流传下来，比较可靠的看法是，他使用了刘徽的方法，而在计算上更加精确。钱宝琮指出：“李淳风缺少历史发展的认识，有意轻视刘徽割圆术的伟大意义，徒然暴露他们自己的无知。”[5]钱宝琮的看法非常中肯。
第三处在少广章开立圆术注释中，李淳风等在引用祖暅之的开立圆术之前说：“祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率。”在引用了祖氏开立圆术之后说：“张衡放旧，贻哂于后。刘徽循故，未暇校新。夫其难哉，抑未之思也。”[8]这里的所谓“祖暅之谓”恐是李淳风等未准确反映祖氏的意思。刘徽否定了《九章算术》的开立圆术，设计了牟合方盖，提出球与方盖的体积之比为π∶4这一正确的论断，指出了解决球体积的正确途径。刘徽未能求出牟合方盖的体积，实事求是地记下了自己的困惑，并寄希望于后学，表示“以俟能言者”[8]，表现了一位真正的科学家的宽广胸怀。刘徽多次阐发并应用了截面积原理，为祖暅之原理的最后完成作了充分准备。[3]刘徽还批评了张衡开立圆术“欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密”[8]的错误。祖氏父子继承刘徽的工作，提出祖暅之原理，求出了牟合方盖的体积，最终解决了球体积问题。以祖冲之父子之实事求是和严谨的学风，是不可能在开立圆术问题上将刘徽与张衡相提并论，并且指责刘徽与张衡一样“以圆囷为方率，丸为圆率”的。显然是李淳风等以自己的思想篡改了祖氏的意思。在这里，李淳风等同样不理解刘徽推翻《九章算术》开立圆术，设计牟合方盖的重大理论意义和实践意义。
总之，李淳风等对刘徽的三处指责，正确的都是刘徽，错误的都是李淳风等，反映出李淳风等无法理解刘徽的无穷小分割方法和极限思想，反映出李淳风等的理论水平和逻辑修养远远在刘徽之下。
我们再分析王孝通对刘徽和祖冲之父子的评价。比较起来，王孝通对刘徽比对祖冲之父子客气一些。他说：“魏朝刘徽笃好斯言，博综纤隐，更为之注。徽思极毫芒，触类增长，乃造重差之法，列于终篇。虽即未为司南，然亦一时独步。”[2]王孝通没有挑出刘徽什么毛病，却只把刘徽看成一个“思极毫芒”的聪明人，称刘徽为魏晋数学的“独步”，但其思想和方法又不能成为数学家的指南。要求王孝通像我们一样认识刘徽的业绩，是强人所难。因为，即使刘徽本人对自己的思想和成就在中国数学史上的地位，也不会有我们这么清楚。不过，王孝通没有理解刘徽的数学思想和成就的精髓，尤其是没有理解他的无穷小分割方法和极限思想，则是无疑的。他贬斥了以往几乎所有的数学家而没有被贬斥的刘徽又不能成为“司南”，言外之意只有他自己才有资格做“司南”。这种居高临下，以为自己比刘徽高明的态度，当然是我们不能接受的。
王孝通对祖冲之父子的指责在前面已引出。在王孝通看来，《缀术》是有严重错误的。由于《缀术》失传，人们难以拿出确凿的证据证明王说之不确。但是，我们可以从侧面，从对祖冲之父子的其他著作的分析中推翻王孝通的看法。流传到今天的完整的祖冲之的著作，只有关于《大明历》的《上大明历表》《大明历法》和《大明历议》（今常称为《驳议》）[9]，而祖暅之的著作则只有开立圆术等片段。这些著作的共同特点是实事求是，言之有据，推理严谨，逻辑清楚，没有空穴来风，或者数字神秘主义的东西。按照我们今天的认识水平，可以批评他们的论述这里不足，那里有局限性，但是，按照南北朝时代人们的认识水平，却难以发现什么错误。中国古代的数学家和天文学家的著作中，大都存在或多或少的错误，或者数字神秘主义的内容。刘徽和祖冲之父子大约是错误最少的。刘徽的《九章算术注》除图之外，被完整地保存了下来。遍查整个刘徽注除反驳《九章算术》宛田术时，有一个推理失误[10]外，没有发现任何错误。钱宝琮词曰：“谁是刘徽私淑？都说祖家父子，成就最辉煌。”[11]祖冲之父子除了继承刘徽求圆周率和球体积的工作外，他们实事求是的科学态度，“知之为知之，不知为不知”的严谨学风，缜密的逻辑推理，以及不迷信古人，敢于创新的进取精神，都是与刘徽相通的。因此，《缀术》尽管已失传，无法了解它的具体内容，但是，可以肯定地说，除了其成就比刘徽更大，理论更深刻外，其严谨、缜密方面，应该与刘徽的《九章算术注》大体相当。就是说，《缀术》可能有“于理未尽”的地方，但是，不会有“全错不通”的内容。我们认为，是王孝通“莫能究其深奥”，又过于自负，才说它“全错不通”。上面已经指出，虽然刘徽《九章算术注》未失传，但王孝通、李淳风等只能理解其中通俗的内容，无法理解其高深的内容和严密的逻辑，更无法理解其无穷小分割方法和极限思想。事实上，唐初以降，一千多年间，人们一直未理解刘徽的这些贡献，而其中几个无穷小分割和极限过程，是20世纪才搞清楚的，有的延宕至70年代末80年代初才弄明白。只是它与《九章算术》一体行世才未失传。我们可以设想，如果《缀术》在刘徽的无穷小分割思想和极限思想的基础上再向前迈一步，那怕是一小步，王孝通、李淳风和当时的学官们是无论如何也理解不了的。笔者认为，这也许是“学官莫能究其深奥，是故废而不理”，导致《缀术》失传的根本原因；也是王孝通指责它“全错不通”的根本原因。
第三，在学术品格上，王孝通是与刘徽和祖冲之父子根本相反的。前已指出，刘徽、祖冲之父子既不迷信古人，敢于创新，又谦虚谨慎，虚怀若谷，寄希望于后学。而王孝通呢，他对刘徽、祖冲之父子的轻视、贬低，一如前述。对他人呢，在评论刘徽和祖暅之之间，他说：“贺循、徐岳之徒，王彪、甄鸾之辈，会通之数无闻焉耳。但旧经残驳，尚有阙漏。自刘（徽）以下，更不足言。”[2]可以说是全盘否定，一片漆黑。就是说，对他以前的数学家，除表彰《九章算术》的成就，客观叙述张苍删补的事实，有保留地肯定刘徽之外，一无是处。这种虚无主义的态度在古算经的序言中，是绝无仅有的。
王孝通对自己是怎样评价呢？他自述说：“钻寻秘奥，曲尽无遗。代乏知音，终成寡和。”而对自己的《缉古算经》，他要求皇上“请访能筭之人，考论得失。如有排其一字者，臣欲谢以千金。”[2]就是说他自己的工作已经尽善尽美，天衣无缝了，同代人无法与之唱和。其故步自封，狂妄之态可掬。焦循评论说：“刘氏之注，极精至巧，会而通之，已足括孕此书（《缉古算经》）。且以其义核王氏之术，可排者正不止一字。”[12]有的学者认为提出“千金排其一字”，反映了王孝通严谨的学风。对此，笔者不敢苟同。
王孝通怎样看待后学呢？他在描述自己写《缉古算经》的心情时说：“臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。”[2]《缉古算经》第1问的数学计算并不复杂，王孝通却说：“臣每日夜思量，常以此理屈滞，恐后代无人知者。”[2]将自己的知识贡献给社会，是学者的责任。但是，以为只有自己才能达到最高峰，后来人不可能达到，更不可能超过自己的水平，与刘徽“以俟能言者”的精神境界形成了鲜明的对照，徒然暴露了自己目空一切的心态。
王孝通在天文历法上是保守的，在数学方面，对三次方程的解法有贡献。但是，王孝通贬低前辈，蔑视同辈，轻视后学，以为自己是前无古人，后无来者。一个科学家不必做谦谦君子，但也不能狂妄到如此地步。在这种心态支配下，不是不能做一些创造性的工作，然而，一般说来，不可能做出像刘徽、祖冲之那样水平的工作来。正是在这种目空一切的心态支配下，王孝通对自己不懂的东西，不是去虚心学习，认真研究，而是斥之以“全错不通”。实际上，王孝通的数学成就和理论水平不仅比刘徽、祖冲之差得远，《缉古算经》的编纂思想甚至不如《九章算术》的主体部分。
看不懂前人的东西，而指斥前人有错，在中国数学史上不乏其例。明朝大数学家顾应祥看不懂元朝李冶《测圆海镜》中的天元术，谓李冶“止以天元一互算而漫无下手之处”[13]，著《测圆海镜分类释术》，买椟还珠，将天元术尽行删除，贻千古不知而作之讥。笔者认为，王孝通对《缀术》的指责，类似于顾应祥与《测圆海镜》的关系。如果有一天《缀术》重新面世，那么，王孝通在中国数学史上的地位不会比顾应祥高。
参考文献(www.xing528.com)
[1][唐]魏征，等.隋书·律历志上.北京：中华书局，1973：388.
[2][唐]王孝通.上缉古筭经表.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993：358.此系影印汲古阁本.
[3]郭书春.古代世界数学泰斗刘徽.济南：山东科学技术出版社，1992.繁体字修订本.台北：明文书局，1995.*再修订本，山东科学技术出版社，2013.
[4][清]戴震.九章算术提要.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993：96.此系影乾隆御览武英殿聚珍版.
[5]钱宝琮主编.中国数学史.北京：科学出版社，1964：89～90.又：李俨钱宝琮科学史全集（5）.沈阳：辽宁教育出版社，1998：97～98.
[6]*[唐]李林甫，等.唐六典.清光绪二十一年（1895）广雅书局本.
[7][元]脱脱，等.宋史·楚衍传.北京：中华书局，1977：13 517～13 518.
[8]郭书春汇校.九章算术.沈阳；辽宁教育出版社，1990.*郭书春汇校.九章筭术新校.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.
[9]*严敦杰.祖冲之科学著作校释.沈阳：辽宁教育出版社，2000.济南：山东科学技术出版社，2017.
[10]*郭书春.刘徽《九章算术注》中的定义及演绎逻辑试析.自然科学史研究.1984，2（3）.
[11]钱宝琮.钱宝琮诗词.郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（4）.沈阳：辽宁教育出版社，1998：549.
[12][清]焦循.加减乘除释，卷三.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（4）.郑州：河南教育出版社，1993：1 335.
[13][明]顾应祥.测圆筭术·叙.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（2）.郑州：河南教育出版社，1993：1 109.
【注释】
[1]亭，系汲古阁本原文，显然有舛误，当是“童”抑或“甍”之误，难以定论，戴震改作“甍”。
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