中国传统数学著作的发展与《九章筭术》及战国时期的高潮

《筭数书》反映了先秦数学的真实状况，是我们研究先秦数学的极为宝贵的原始资料。它表明，中国传统数学著作的体例，数学的主要内容、方法和框架在先秦已经确立了。《筭数书》的数学表达方式的纷杂不统一，是先秦数学的固有现象。这种现象继续到西汉初年。张苍、耿寿昌整理《九章筭术》时对数学的表达方式做了规范化处理。这应该是中国数学史上第一次统一数学名词和规范表达方式，与秦汉在社会体制、事功、疆域、物质文明和思想文化等方面为中国形成一个统一的国家奠定基础的过程大体是同步的。它标志着中国传统数学发展到了一个新的阶段。此后直到20世纪初中国传统数学中断，中国数学著作中，分数、除法、答案的表示一直沿用《九章筭术》的模式。

《筭数书》杰出的数学成就说明先秦数学已经相当发达，为中国传统数学的第一个高潮不是开始于编定《九章筭术》的西汉而是在先秦的观点[18]提供了有力的佐证。事实上，张苍、耿寿昌编定《九章筭术》，只是这个高潮的总结，这个高潮的波峰应该在战国时期。这对我们重新认识中国数学史，尤其是先秦数学史，提供了决定性的资料。

上面这些事实，为刘徽关于《九章筭术》的编纂过程的论述提供新的佐证。刘徽说：

周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善筭命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。

这不仅是关于《九章筭术》编纂的最早论述，也是最准确的论述。自戴震起，人们怀疑刘徽的论述，否认张苍等整理《九章筭术》[19]，这是没有道理的。《筭数书》所反映的先秦数学文字表述的古朴，《九章筭术》所使用的汉代语言，也与刘徽的论述相符合。

《筭数书》和《九章筭术》的某些内容，应该有血缘关系。但是，从整体上说，《筭数书》不是《九章筭术》的前身。与《算经十书》现存诸算经相比，《筭数书》在中国数学史上的重要性仅次于《九章筭术》。

参考文献

[1]郭书春.《筭数书》校勘[J].中国科技史料，2001，22（3）：202～219.本文凡引《筭数书》原文如不说明，均据此.

[2]彭浩.中国最早的数学著作《算数书》[J].文物，1990，（9）：85～90.

[3]钱宝琮.中国数学史[A].李俨钱宝琮科学史全集[Z]（5）.沈阳：辽宁教育出版社，1998：86～87，136～137.

[4]九章算术[M].郭书春汇校.沈阳：辽宁教育出版社，1990.其修订版将在2004年出版，其名汇校九章筭术增补版.本文凡引《九章筭术》原文如不说明，均据此.*郭书春汇校.九章筭术新校.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

[5]郭书春.关于中国传统数学的“术”[A].高小山，李文林，等.数学与数学机械化[C].济南：山东教育出版社，2001：444～448.

[6]孙子筭经[A].郭书春点校.算经十书（2）[Z].郭书春，刘钝点校.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[7]孙子筭经[A].郭书春点校.算经十书[Z].郭书春，刘钝点校.台北：九章出版社，2001.本文凡引《孙子筭经》原文均据此.

[8][北魏]张丘建.张丘建筭经[A].郭书春点校.算经十书（2）[Z].郭书春，刘钝点校.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[9][北魏]张丘建.张丘建筭经[A].郭书春点校.算经十书（2）[Z].郭书春，刘钝点校.台北：九章出版社，2001.本文凡引《张丘建筭经》原文均据此.

[10][北周]甄鸾.五曹筭经[A].郭书春点校.算经十书（2）[Z].郭书春，刘钝点校.第二册.沈阳：辽宁教育出版社，1998：3～4.(www.xing528.com)

[11][北周]甄鸾.五曹筭经[A].郭书春点校.算经十书[Z].郭书春，刘钝点校.台北：九章出版社，2001：353～354.本文凡引《五曹筭经》原文均据此.

[12]郭书春.试论《筭数书》的数学表达方式[J].中国历史文物，2003，（3）：28～38.

[13]郭书春.《筭数书》初探[A].国学研究[C].第12卷.北京大学，2003：307～349.

[14]郭书春.试论《筭数书》的理论贡献与编纂[A].法国汉学[C].第6辑.北京：中华书局，2002：505～537.

[15]邹大海.《筭数书》初探[J].自然科学史研究，2000，20（3）.

[16]算经十书[Z].钱宝琮校点.下册.北京：科学出版社，1963：275.李俨钱宝琮科学史全集（4）[Z].沈阳：辽宁教育出版社，1998：217.

[17]李俨钱宝琮科学史全集（4）[Z].沈阳：辽宁教育出版社，1998：217.

[18]邹大海.中国数学的兴起与先秦数学·后记[M].石家庄：河北科学技术出版社.2001：517.

[19][清]戴震.《九章筭术》提要[A].郭书春.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）[Z].郑州：河南教育出版社，1993：95～96.

【注释】

[1]*关于《九章筭术》“术文统率例题”的形式的内容与本文集《关于中国传统数学的“术”》雷同，今删去。

[2]*下略。

[3]此句，笔者在《〈筭数书〉校勘》中改为“欲干之令一升，问减田几何”，未允，今依彭浩恢复原文。

[4]这里实际上只涉及36条，因为有5条重出。然而重出者有2种表示方式，故重复计算。

[5]这里实际上只涉及44条。除了第2类重出5条外，第1类与第2类还重出2条。亦因为系2类表示方式，亦重复计算。

[6]现传《张丘建筭经》各版本的唯一来源是南宋本，其卷二、三之间烂脱，丢失几个问题，不得而知。