《郭书春数学史自选集下册》中的《筭数书》详解

《筭数书》的数学内容相当丰富。有许多内容，特别是“增减分”“以圜材方”“以方材圜”等内容，是现存《九章筭术》等数学著作中所没有的[13]，是《筭数书》的首创。还有一些内容，比如分数四则运算法则、比例和比例分配算法、盈不足算法、同工共作和若干面积、体积问题等解法，是《筭数书》与《九章筭术》共有的，在中国数学史上也都是首创。上述内容可分别归于“九数”的方田、粟米、衰分、少广、商功、赢不足等6类，《筭数书》缺少均输、方程、勾股（或旁要）4类的内容，是《筭数书》原来就没有，还是竹简烂脱造成的，不得而知。总的说来，就《筭数书》现在能识别的部分看，其内容的宽泛、术文的完整与严谨，是难以望《九章筭术》之项背的。

人们特别关注《筭数书》与《九章筭术》的异同及其关系。《筭数书》“少广”第一条的“少广术”“少广”第二条的9个例题、“里田”条的里田术与1个例题、“女织”的题目及其术，分别与《九章筭术》相应的内容基本相同。《筭数书》“相乘”条的“乘分之术”、“分乘”条的“分乘分术”、“约分”条的“约分术”、“合分”条的“合分术”、“出金”条相当于减分术、课分术的两条术文、“粟为米”条的粟米互换比率、“粟求米”（2条）“米求粟”条的术文，以及“除”“斩都”“刍”“旋粟”“囷盖”“圜亭”“井材”“大广”等条的术文，与《九章筭术》相关内容基本相同而例题完全不同。就是说，《筭数书》与《九章筭术》基本相同的术文有17条（重复者算1条），基本相同的题目只有11道，这在《筭数书》中所占的比例是相当小的，在《九章筭术》中所占比例则更小。另外，在前文中已经看到，《筭数书》与《九章筭术》的“息钱”问题，完全是同一种类型，题设数字完全不同，解法的抽象程度也不同，因而是不同的题目。至于《筭数书》的其他条目，约占《筭数书》的2/3，与《九章筭术》比较起来，也就是应用对象雷同，而题设的条件和术文差别都相当大。因而，《筭数书》与《九章筭术》前身的一部分肯定有某种血缘关系，但从整体说来，它不可能是《九章筭术》的前身。而两者的这部分内容孰早孰后，是一个目前难以定论的问题。况且，《筭数书》是从已有的不同著作中摘编而成的，不是一部系统编纂的著作[13][14][15]！说《筭数书》是《九章筭术》的前身，一般是首先先验地提出这种假定，然后找两者内容相同的例证——这样的例证当然不止一个，并且认为《九章筭术》是汉代甚至是东汉才编纂的，而不是首先对两者进行整体分析，并通过这种分析得出实事求是的结论，更不去考察它们有什么不同，这种不同占多大分量。这种考察从方法论上来说是不妥当的。

那么，《筭数书》与《孙子筭经》等其他算经相比又怎样呢？《筭数书》能辨认的题目有86个；《孙子筭经》卷中、下共有题目64个；《张丘建筭经》现存92个^[6]，《五曹筭经》有67个。显然，就题目的数量而言，《筭数书》少于《张丘建筭经》，稍多于《孙子筭经》与《五曹筭经》。我们再将《筭数书》与《孙子筭经》《张丘建筭经》《五曹筭经》的数学内容比较如下表：(www.xing528.com)

表　《筭数书》与《孙子筭经》《张丘建筭经》《五曹筭经》的数学内容比较

此表只列出了一些主要内容，列出的项目也不一定准确。由这四部著作的34项内容的对照可以看出，《筭数书》有22项，《孙子筭经》有19项，《张丘建筭经》有28项，《五曹筭经》仅有5项。《孙子筭经》还有个别内容，如鸡兔同笼等，未列入。已经列入的内容，如“预备知识”一项，尽管有的内容《筭数书》有而《孙子筭经》没有，但就“预备知识”的整体而言，《孙子筭经》的内容要比《筭数书》完整得多。《孙子筭经》《张丘建筭经》有某些创新，比如前者的同余方程组解法和对开方术的改进，后者对最小公倍数和等差级数问题，等等，而《五曹筭经》非常浅显，几乎没有新东西。总的说来，就所涉及到的数学分支而言，《筭数书》逊于《张丘建筭经》，与《孙子筭经》相比不分轩轾，而远远超过《五曹筭经》。如果考虑到“《筭数书》中大部分算题的形成年代至迟不会晚过秦代，有的甚至更早”，那么，它比《孙子筭经》至少要早六七百年[16][17]，比《张丘建筭经》《五曹筭经》要早八九百年。因此，就创新程度与内容宽泛、深刻而言，《筭数书》在中国传统数学史上的地位，要比《孙子筭经》《张丘建筭经》《五曹筭经》重要得多。