数学史自选集（下册）：预备知识置于卷首

《九章筭术》粟米章将“粟米之法”即各种粟米的互换比率置于该卷卷首。《孙子筭经》将算筹记数法、九九乘法表、筹算乘除法则、度量衡制度、各种物品的比重表、大数进位法、周三经一等常数、粟米互换的基本法则等置于全书的卷首，作为卷上。

综上所述，《九章筭术》以第1种体例为主，兼以第2种，个别地方采用第3种；《孙子筭经》则是第2种、第3种的合壁，《张丘建筭经》《五曹筭经》则只采用第2种，后三者均无第1种体例，即术文统率例题的形式。

《筭数书》的情形怎样呢？《筭数书》的体例相当复杂。大体有以下各种情形：

（一）术文是关于一类问题的解法，从而非常抽象。这里有三种体例：

1.术与例题在同一条中，而且例题在前，术文在后，条名为题名，而不是术名。比如“出金”条：

出金 有金三朱九分朱五。今欲出其七分朱六，问：余金几何？曰：余金二朱六十三分朱卌四。其术曰：母相乘也为法，子互乘母，各自为实，以出除焉，余即余也。以九分朱乘三朱，与小五相并。今有金七分朱之三，益之几何而为九分七？曰：益之六十三分朱廿二。术曰：母相乘为法，子互乘母，各自为实。以少除多，余即益也。

“出金”是此条中题目的名称，而不是术名。其术有2条，分别对应于《九章筭术》的“减分术”与“课分术”。属于这类情形的还有：“相乘”条，术文是关于分数乘法法则的“乘分之术”，其前的分数乘法表是其应用。“分钱”条与“方田”条，各有1道术文，基本相同，都是赢不足术，分别有1道关于分钱与方田的例题。

这种情形大体类似于《九章筭术》中术文统率例题的体例的第1种情形。

2.术文单独立条，条名即是术名，本条没有例题，例题在随后的条目中。比如二“少广”条：

少广 求少广之术曰：先直广，即曰：下有若干步，以一为若干，以半为若干，以三分为若干，积分以尽所求分同之，以为法。即耤直田二百卌步，亦以一为若干，以为积步。除积步如法，得从一步。不盈步者，以法命其分。^[2]

少广 广一步、半步。以一为二，半为一，同之三，以为法。即值二百卌步，亦以一为二。除如法，得从一步，为从百六十步。因以一步、半步乘。下有三分，以一为六，半为三，三分为二，同之十一。得从百卅步有十一分步之十，乘之田一亩。下有四分，以一为十二，半为六，三分为四，四分为三，同之廿五。得从百一十五步有廿五分步之五，乘之田一亩。下有五分，以一为六十，半为卅，三分为廿，四分为十五，五分为十二，同之百卅七。得从百五步有百卅七分步之十五，乘之田一亩。下有六分，以一为六十，半为卅，三分为廿，四分为十五，五分为十二，六分为十，同之百卌七。得从九十七步有百卌七分步百卌一，乘之田一亩。下有七分，以一为四百廿，半为二百一十，三分为百卌，四分为百五，五分为八十四，六分为七十，七分为六十，同之千八十九。得从九十二步有千八十九分步之六百一十二，乘之田一亩。下有八分，以一为八百卌，半为四百廿，三分为二百八十，四分为二百一十，五分为百六十八，六分为百卌，七分为百廿，八分为百五，同之二千二百八十三，以为法。得从八十八步有二千二百八十三分步之六百九十六，乘之田一亩。下有九分，以一为二千五百廿，半为千二百六十，三分为八百卌，四分为六百卅，五分为五百四，六分为四百廿，七分为三百六十，八分为三百一十五，九分为二百八十，同之七千一百廿九，以为法。得从八十四步有七千一百廿九分步之五千九百六十四，乘之成田一亩。下有十分，以一为二千五百廿，半为千二百六十，三分为八百卌，四分为六百卅，五分为五百四，六分为四百廿，七分为三百六十，八分为三百一十五，九分为二百八十，十分为二百五十二，同之七千三百八十一，以为法。得从八十一步有七千三百八十一分步之六千九百卅九，乘之成田一亩。

显然，下一条“少广”的9个题目是上一条“少广”中的“少广术”的应用。属于这类情形的还有：“分乘分术”（“分乘”条），随后的“乘”条中大量分数乘法是其应用。“石术”（“石”条），随后的“贾盐”条即是其例题。“误券术”（“误券”条），3道术文，随后的“租误券”条即是其应用。“粺毇术”（“粺毇”条），15道术文，无随后应用的条目或例题。“粟求米术”（“粟求米”条），5道术文，随后的“粟求米”“米求粟”条分别引用其中一道。

3.总术、例题及分术在同一条中，实际上是上面（二）中二者的合并，不过这里是例题及分术在前，总术在后。如“径分”条：

径分 径分以一人命其实，故名。五人分三有半、少半，各受卅分之廿三。其术曰：下有少半，以一为六，以半为三，以少半为二，并之，为廿三。即值人数，因而六之，以命其实。五人分七钱少半、半钱。人得一钱卅分钱十七。术曰：下三分，以一为六，即因而六人以为法，亦六钱以为实。有曰，术曰：下有半，因而倍之；下有三分，因而三之；下有四分，因而四之。

“粟米并”条也属于这种情形。

4.例题与术在同一条中，条名即是术名。比如“合分”条：

合分 合分术曰：母相类，子相从；母不相类，可倍、倍，可三、三，可四、四，可五、五，可六、六，七亦辄。倍、倍，及三、四、五之如母。母相类者，子相从。其不相类者，母相乘为法，子互乘母，并以为实，如法成一。今有五分二、六分三、十分八、十二分七、三分二，为几何？曰：二钱六十分钱五十七。其术如右方。有曰：母乘母为法，子羡乘母为实，实如法而一。其一曰：可十、十，可九、九，可八、八，可七、七，可六、六，可五、五，可四、四，可三、三，可倍、倍，母相类止。母相类，子相从。

属于术、题在同一条中，并且条名即术名。属于这种情形的还有约分、径分、羡除、斩都、刍童、旋粟、囷盖、圜亭、井材、以圜材方、以方材圜、启从、大广田、里田等条。

这种情形大体类似于《九章筭术》术文统率例题的体例的第2，3种情形。

以上四种情形，与《九章筭术》一样，可以称为术文统率例题的形式。

（二）有些条一条就是解决一个或几个问题。比如“息钱”条：

息钱 贷钱百，息月三。今贷六十钱，月未盈十六日归，计息几何？得曰：廿五分钱廿四。术曰：计百钱一月积钱数，以为法。直贷钱，以一月百钱息乘之，有以日数乘之为实。实如法得一钱。

又如：

取程 取程十步，一斗。今干之八升，问：几何步一斗？得田十二步半一斗。术曰：八升者为法。直一升步数而十之，如法一步。竞程卅七步，得禾十九斗七升。问：几何步一斗？得曰：减田一步有百九十七分步百七十三而一斗。取程五步一斗，今干之一斗一升。欲减田令一升^[3]。得曰：减田十一分步五。术曰：以一升数乘五步，令十一而一。

《筭数书》的这种体例类似于《九章筭术》《孙子筭经》《张丘建筭经》《五曹筭经》的第（二）种体例，即应用问题集的形式。(www.xing528.com)

3.算表与粟米互换比率。这实际上是预备知识，包括乘法算表、石斤化朱表，以及粟米互换比率等。

（1）乘法算表，含有10的乘方算表与分数乘法算表两种内容。

10的乘方算表在第3条“乘”中：

一乘十，十也；十乘万，十万也；千乘万，千万。一乘十万，十万也；十乘十万，百万；半乘千，五百。一乘百万，百万；十乘百万，千万。半乘万，五千。十乘千，万也；百乘万，百万。半乘百，五十。

分数乘法算表分别在第1条与第3条。在第1条“相乘”中的是：

寸而乘寸，寸也；乘尺，十分尺一也；乘十尺，一尺也；乘百尺，十尺也；乘千尺，百尺也。半分寸乘尺，廿分尺一也；三分寸乘尺，卅分尺一也；四分寸乘尺，卌分尺一也；五分寸乘尺，五十分尺一也；六分寸乘尺，六十分尺一也；七分寸乘尺，七十分尺一也；八分寸乘尺，八十分尺一也。一半乘一，半也；乘半，四分一也。三分而乘一，三分一也；乘半，六分一也；乘三分，九分一也。四分而乘一也，四分一也；乘半，八分一也；乘三分，十二分一也；乘四分，十六分一也。五分而乘一，五分一也；乘半，十分一也；乘三分，十五分一也；乘四分，廿分一也；乘五分，廿五分一也。

在第3条“乘”中的分数乘法表是：

少半乘少半，九分一也。半步乘半步，四分一；半步乘少半步，六分一也。少半乘大半，九分二也。四分乘四分，十六分一；四分乘五分，廿分一；五分乘五分，廿五分一；五分乘六分，卅分一也；六分乘六分，卅六分一也；六分乘七分，卌二分也；七分乘七分，卌九分一也；七分乘八分，五十六分一也。

（2）石斤化朱表。石、斤、朱都是重量单位，朱即铢。石斤化朱表在第17条“金贾”的后半段：

廿四朱一两，三百八十四朱一斤，万一千五百廿朱一钧，四万六千八十朱一石。

（3）粟米互换比率在“程禾”“粺毇”“粟为米”等条中，这类似于《九章筭术》的粟米之法。“程禾”条是：

程禾 程曰：禾黍一石为粟十六斗泰半斗，舂之为粝米一石，粝米一石为糳米九斗，糳米九斗为毇米八斗。程曰：稻禾一石为粟廿斗，舂之为米十斗，为毇、粲米六斗泰半斗。麦十斗为三斗。程曰：麦、菽、荅、麻十五斗为一石，禀毇、糳者，以十斗为一石。

化成整数：

稻禾30　粟60　米30　毇米20　麦30　9

“粟为米”条是：

粟为米 麻、麦、菽、荅三而当米二，九而当粟十。粟五为米三。米十为粺九，为毇八。麦三而当稻粟四。禾粟五为稻粟四。

这一条很简洁，涉及的粟类却最多，并且覆盖了“粺毇”条。将它们化成通率便是：

麻麦菽荅　米　粟　粺　毇　稻粟　禾粟

45　　　　30　 50　 27　 24 　 60 　　75

不难看出，“程禾”“粟为米”两条中的粟米比率无法自洽。

其他条目中还有一些为计算所必须的预备知识。

尽管《筭数书》没有将这些预备知识集中到一起，然而，这类似于《九章筭术》粟米章的“粟米之法”及《孙子筭经》的卷上，是不言而喻的。

总之，《筭数书》在体例上有术文统率例题，应用问题集，以及某些预备知识等三种形式，与《九章筭术》有某些相似之处（尽管《九章筭术》的预备知识的分量极少）；在有预备知识方面与《孙子筭经》相似，而其具有的术文统率例题的形式是《孙子筭经》所没有的；在有应用问题集的形式上与《张丘建筭经》《五曹筭经》相似，而术文统率例题的形式及预备知识方面是《张丘建筭经》《五曹筭经》所没有的。实际上，不仅《算经十书》中的这些著作，就是宋、元、明、清的许多数学著作，也都不外这三种形式。换言之，《筭数书》和《九章筭术》的体例的三种形式，影响了中国传统数学的始终。只是后者一直被尊为算经之首，其影响是直接的、明显的，前者被埋入墓穴，其影响是曲折的、隐晦的。准确地说，先秦数学的这三种体例影响了中国传统数学著作的始终。