《筭数书》与《九章筭术》的同名术名

《筭数书》的标题与《九章筭术》的术名相同者有“约分”“合分”“径分”“方田”“少广”“大广”“里田”等7条。其中“方田”“少广”还是《九章筭术》的章名。我们分别进行比较。

1.约分

《筭数书》的“约分”条是：

约分 约分术曰：以子除母，母亦除子，子、母数交等者，即约之矣。有曰：约分术曰：可半，半之。可令若干一、若干一。其一术曰：以分子除母，少，以母除子，子、母等，以为法。子、母各如法而成一。不足除者可半，半母亦半子。二千一十六分之百六十二，约之，百一十二分之九。[12]

《九章筭术》的约分术是：

今有十八分之十二。问：约之得几何？

荅曰：三分之二。

又有九十一分之四十九。问：约之得几何？

荅曰：十三分之七。

约分术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

《筭数书》有两条抽象性术文，其程序完全一致，与《九章筭术》的“约分术”一致，只是三者的表述文字略有差别。《筭数书》只有1道例题，《九章筭术》有2道，例题完全不同。前者的数字较大，题设的分母是4位数，答案的分母是3位数。而后者题设的数字没有超过2位数。

2.合分

《筭数书》的“合分”条是：

合分 合分术曰：母相类，子相从；母不相类，可倍、倍，可三、三，可四、四，可五、五，可六、六，七亦辄。倍、倍，及三、四、五之如母。母相类者，子相从。其不相类者，母相乘为法，子互乘母并以为实，如法成一。今有五分二、六分三、十分八、十二分七、三分二，为几何？曰：二钱六十分钱五十七。其术如右方。有曰：母乘母为法，子羡乘母为实，实如法而一。其一曰：可十、十，可九、九，可八、八，可七、七，可六、六，可五、五，可四、四，可三、三，可倍、倍，母相类止。母相类，子相从。

《九章筭术》的合分术是：

今有三分之一，五分之二。问：合之得几何？

荅曰：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五。问：合之得几何？

荅曰：得一、六十三分之五十。

又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问：合之得几何？

荅曰：得二、六十分之四十三。

合分术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。

《筭数书》有四段抽象性术文，都是首先区分相加的各个分数是不是同分母。如果是同分母，则将诸分子相加。如果不是同分母，则有两种方法处理。第一、四段术文是第一种方法，类似于少广术。第二、三段术文是第二种方法，与《九章筭术》的方法相同。两者的例题根本不同。《筭数书》只有1道，是5个分数相加；《九章筭术》有3道，分别是2，3，4个分数相加。

3.经分

“经分”在《筭数书》中称为“径分”。其“径分”条是：

径分 径分以一人命其实，故名。五人分三有半、少半，各受卅分之廿三。其术曰：下有少半，以一为六，以半为三，以少半为二，并之，为廿三。即值人数，因而六之，以命其实。五人分七钱少半、半钱。人得一钱卅分钱十七。术曰：下三分，以一为六，即因而六人以为法，亦六钱以为实。有曰，术曰：下有半，因而倍之；下有三分，因而三之；下有四分，因而四之。

《九章筭术》经分术是：

今有七人，分八钱三分钱之一。问：人得几何？

荅曰：人得一钱二十一分钱之四。

又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问：人得几何？

荅曰：人得二钱八分钱之一。

经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之；重有分者同而通之。

两者都是抽象性术文，但《筭数书》的术文的通分方法类似于少广术。其例题完全不同。《筭数书》有2道例题，都是整数除几个分数之和，每道例题各有具体的术文。《九章筭术》也有2道例题，一道是整数除分数，一道是分数除分数。

4.方田

《筭数书》的“方田”条是：(www.xing528.com)

方田 田一亩，方几何步？曰：方十五步卅一分步十五。术曰：方十五步不足十五步，方十六步有余十六步。曰：并赢、不足以为法。不足子乘赢母，赢子乘不足母，并以为实。复之，如启广之术。

《九章筭术》的方田术及其例题是：

今有田广十五步，从十六步。问：为田几何？

荅曰：一亩。

又有田广十二步，从十四步。问：为田几何？

荅曰：一百六十八步。

方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

《九章筭术》的方田术是中国传统数学中通常的方田面积问题，而《筭数书》则不是，而是用赢不足术求面积为1亩的方田的边长。两者是根本不同的。

5.少广

《筭数书》的“少广”内容有两条，一条是少广术，一条是例题。其少广术的文字比《九章筭术》古朴，而程序基本相同。其例题与《九章筭术》一样，都是求广为1+，而其面积为1亩的田地的长。只是只有8道例题，比《九章筭术》少n=10，11，12三道例题。在n=6的例题中，《筭数书》以1为60，使用了2，3，4，5，6的最小公倍数60，但是《九章筭术》以1为120，不是2，3，4，5，6的最小公倍数。

6.大广

《筭数书》的“大广”条是：

大广 广十二步卌九分步之七，从十三步七分步之四，问：为田几何？曰：为百六十四步有三百卌三分步之二百七十三。大广术曰：直广从，而各以其分母乘其上全步，令分子从之，令相乘也为实。有各令分母相乘为法。如法得一步。不盈步，以法命之。

《九章筭术》大广田术是：

今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二。问：为田几何？

荅曰：十八步。

又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五。问：为田几何？

荅曰：一百二十步九分步之五。

又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六。问：为田几何？

荅曰：一亩二百步十一分步之七。

大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。

两者的方法基本一致，只是《筭数书》的术文有不满步，以法命分的文字。《九章筭术》则省去。《筭数书》只有1道例题，《九章筭术》有3道，全然不同。

7.里田

《筭数书》的“里田”条是：

里田 里田术曰：里乘里，里也，广、从各一里。即直一，因而三之，有三五之，即为田三顷七十五亩。其广从不等者，先以里相乘，已，乃因而三之，有三五之，乃成。今有广二百廿里，从三百五十里，为田廿八万八千七百五十顷。直提封以此为之。一曰：里而乘里，里也。壹，三而三五之，即顷亩数也。有曰：里乘里，里也。因而五之，以里之下即予廿五，因而三之，亦其顷亩数也。曰：广一里、从一里，为田三顷七十五亩。

《九章筭术》的里田术是：

今有田广一里，从一里。问：为田几何？

荅曰：三顷七十五亩。

又有田广二里，从三里。问：为田几何？

荅曰：二十二顷五十亩。

里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。

两者的术文基本一致。两者都有广、从各1里的例题，主要似是为了说明“里法”。另外一个例题则不相同。《筭数书》是广、从长达二三百里的题目，是《九章筭术》所没有的。《筭数书》说“直提封以此为之”。“封”是古代地积单位。

总之，以上7条中，问题类型完全不同的1条，术文不同者1条，基本相同者5条，而例题除了少广条外则完全不同。