推导刍甍体积公式的棊验法

棊验法见之于《九章筭术》商功章刘徽注。原来这些刘徽注的论证部分大都分两段，其第一段便是棊验法。棊验法要用到三品棊，即长、宽、高均为1尺的正方体、堑堵、阳马，如图3。

图3　三品棊

我们以与斩都求积公式相似的刍甍术的刘徽注为例说明棊验法。其第一段论证是：

假令下广二尺，袤三尺；上袤一尺，无广；高一尺。其用棊也，中央堑堵二，两端阳马各二。倍下袤，上袤从之，为七尺，以广乘之，得幂十四尺，阳马之幂各居二，堑堵之幂各居三。以高乘之，得积十四尺。其于本棊也，皆一而为六，故六而一，即得。

这里取一种标准的刍甍：下宽2尺，长3尺，上长1尺，高1尺。将它分解为中央2个堑堵棊，两端2个阳马棊，如图4（1）。然后构造一个长方体：其长为标准型刍甍下袤的2倍加上袤，即7尺，宽为刍甍的下广2尺，高即刍甍的高1尺，如图4（2）。其体积是：（2×下袤+上袤）×下广×高。共14个正方体棊，其中6个可以分解为12个堑堵，另外6个可以分解为18个阳马，还有2个正方体棊可以分解为6个阳马。其每个正方体棊分别分解为堑堵与阳马的情形如图4（3），（4）所示。那么所构造的长方体总共含有12个堑堵，24个阳马。与标准型刍甍比较，标准型刍甍中的1个堑堵、1个阳马在这个长方体中都变成了6个。换言之，这个长方体可以重新组合成6个标准型刍甍。那么一个标准型刍甍的体积就是

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它与（2）式取同样的形式。就是说，标准型刍甍的体积公式是（2）式。[5]

图4　推导刍甍体积公式的棊验法

显然，棊验法只适应于可以分解为堑堵棊、阳马棊的标准型刍甍。而对于一般的刍甍则无能为力。因为此时尽管可以构造一个以刍甍下袤的2倍与上袤之和作为长，以刍甍的下广作为宽，以刍甍的高作为高的长方体，但是其中的小长方体无法分解成与刍甍两端的阳马都全等的阳马。因此，从棊验法到公式（2）是一个从特殊到一般的过程，并没有真正证明（2）式。严格证明（2）式，只能在刘徽提出并证明了刘徽原理之后。

其次，在使用棊验法推导体积公式时，只需知道长方体的体积公式就够了，并不需要事先知道堑堵、阳马的体积公式。

更重要的，现传刘徽的《九章筭术注》是刘徽写的，但根据刘徽“采其所见，为之作注”的自述及对刘徽注内容的分析，我们认为刘徽注含有前人甚至《九章筭术》成书时的内容。我们看到，在刘徽所记载的刍甍的棊验法中，所构造的长方体，恰恰是公式（2）。这就明白告诉我们，公式（2）是由棊验法推导出来的。《九章筭术》的方亭、刍童等多面体亦然。换言之，棊验法是《九章筭术》时代推导多面体体积公式的方法。[6]