《九章筭术》对中国传统数学表示方式的规范化

综上所述，《筭数书》中数学术语的表示方式十分繁杂，没有同一的格式：名数分数的表示方式有2类6种，除法的表示方式有7类19种，数学问题的起首方式有4种，发问方式有3种，问题答案的表示方式有4种。其中名数分数、实如法、数学问题的起首与发问方式，《九章筭术》与之相同者，在《筭数书》中所占分量界于至之间。而两者的问题答案的表示方式相同者为0。

人们自然要问，《筭数书》中分数、实如法、问题的起首、发问与答案如此纷杂的表述方式，特别是《九章筭术》与之不同的那些方式，是先秦数学固有的呢，还是原简中有舛误？不能完全排除《筭数书》在传抄过程中出现舛误的可能性。但是，要说《筭数书》与《九章筭术》不同的表示方式都是舛误，或大部分是舛误，是不可能的。以分数为例，《筭数书》中前5种方式占的分量超过，采用第2类第（1）种方式的达28条之多，达55%；采用第1类第（1）种、第2类第（2）种者分别为8条、6条，与第2类第（3）种方式，即《九章筭术》与之相同的方式的条目数相当。再看除法的表示，第2类第（2）种方式有10条，第4类达20条，第5类也有6条。显然，出现这么多舛误是不可思议的。将至的表示方式看成准确无误，而将至的表示方式看成舛误，于理不通；而占表示方式的36%或55%的同一表示方式更不可能是舛误。因此，我们认为，《筭数书》中关于分数、除法、问题的起首、发问和答案的各种各样的表示方式是先秦数学所固有的；起码，同一表示方式有数条、十几条、甚至几十条例证的情形肯定是先秦数学所固有的，而绝非舛误。换言之，《筭数书》数学术语的纷杂的表示方式反映了前《九章筭术》时代中国传统数学的真实情况，是极为宝贵的原始数据。有的学者以《九章筭术》的分数、实如法的表示方式为模式，改动《筭数书》，将《筭数书》的纷杂的表示方式统一于《九章筭术》的模式，[9][10][11]是不合适的。因为这样做，篡改了反映先秦数学真实状况的极为宝贵的原始资料，当然也就抹杀了从先秦到西汉初年中国数学术语的重大转变，使人们看不到中国传统数学的表达方式的发展演变过程，看不到《九章筭术》规范中国传统数学术语的巨大贡献。

自唐初李淳风等编定十部算经一千多年以来，一直没有先秦数学著作传世，从事中国数学史研究的人无不对这一现象深表遗憾。《筭数书》的出土，填补了这一巨大空白。其中数学术语的纷杂的表示方式，不仅绝大多数不是舛误，而且是研究先秦数学的极其宝贵的第一手原始资料。据此，就可以得出一些有意义的初步结论。

首先，《筭数书》使我们首次切实了解了先秦数学的巨大成就。过去，笔者提出《九章筭术》九卷的主要方法都完成于先秦，进而指出，春秋战国是中国数学的第一个高潮的观点，主要是通过对《九章筭术》的体例、结构的分析，及对刘徽《九章筭术注》“采其所见”者的分析得出的，但是，苦于缺乏实证的资料。现在，《筭数书》提供了这种资料，它无可辩驳地证明了，中国传统数学的第一个高潮，不是开始于编定《九章筭术》的西汉，而是在先秦。张苍、耿寿昌编定《九章筭术》，只是这个高潮的总结。这对我们重新认识和架构中国数学史，尤其是先秦数学史，提供了决定性的资料。

第二，《筭数书》中数学术语表示方式的纷杂，及其他一些佐证（比如，《筭数书》的术文有若干重复，内容中有不少自相矛盾之处，等等），说明《筭数书》时代或其前，亦即先秦时期，存在着不止一部数学著作，而《筭数书》不是一个人撰著的或主持编定的系统性著作，而是摘编于若干不同作者的数学著作，甚至是不同时代的著作。[12][13]

第三，《筭数书》表明，先秦数学已经发展到相当的高度，“九数”中的许多方法在《筭数书》中已经完成，为刘徽关于《九章筭术》的编纂过程的论述提供新的佐证。但是，认为《筭数书》是《九章筭术》的前身的看法，证据是不足的。这种看法只有在数学著作都是单传的情况下，即在《九章筭术》以前，只有《筭数书》一部数学著作的情况下，才有可能（注意，也只是可能！）成立。这种看法是先验地假定《筭数书》是《九章筭术》的前身，然后从两者中找例证。事实上，两者只有极少几条的方法与例题完全相同，而大量的内容是方法基本相同而例题不同。《筭数书》与《九章筭术》有大量相同的数学成就，只能说明这些成就是先秦数学家的共同的知识，不足以证明前者是后者的前身。而大量的方法相同而例题不同，说明前者不是后者的前身。

更重要的，《筭数书》所反映的先秦时期数学术语表示方式的多样性，是一个不争的事实。这一方面是数学早期发展的必然现象。另一方面，诸侯林立，列国纷争，诸子辩难，百家争鸣，全国各地语言相左，文字不同，数学术语不可能统一，使数学术语表示方式纷杂的现象长期保持下来。各种不同的表示方式的产生，有先有后，有早有晚，但是，《筭数书》表明，这些不同的表示方式大都存续到秦与西汉初年。秦汉在社会体制、事功、疆域、物质文明和思想文化等方面为中国作为一个统一的国家，为中华民族的文化心理结构，为中国传统科学技术的基本框架、形态和风格，奠定了稳固的基础。数学作为科学文化的一个重要方面，当然亦是如此。秦始皇统一中国，随后“车同轨，书同文”，统一了全国的文字和度量衡，但是，秦朝短命，又焚书坑儒，不重视学术研究，当时来不及也不可能统一、规范数学术语。《筭数书》与《九章筭术》证明，张苍、耿寿昌整理、编定《九章筭术》时，才完成了数学术语的统一与规范化。他们统一了分数的表示，选取先秦固有的一种方式，将非名数分数统 一表示为“b分之a”，将名数分数m尺表示为“m尺b分尺之a”。他们统一了除法的表示，选取先秦的一种固有的方式，先指明“法”，再指明“实”，最后，对抽象性的术文，说“实如法而一”或“实如法得一”，对非抽象性的具体运算，说“实如法得一尺（或其他单位）”。他们以先秦数学中已有的一种方式统一了问题的起首与发问，对问题的起首，一般用“今有”，同一条术文有多个例题时，自第2个题目起用“又有”，而对发问，则用“问：……几何？”或“问：……几何……？”对问题的答案，先秦数学是不是有“荅曰”的方式，不得而知，张苍等统一采用“荅曰”来表示。《九章筭术》统一、规范数学术语的意义非常重大，它标志着中国传统数学发展到了一个新的阶段。此后直到20世纪初中国传统数学中断，中国数学著作中，分数、除法、答案的表示一直沿用《九章筭术》的模式，数学问题的起首与发问方式，唐以后有的著作虽有变化，但都是“今有”与“几何”的同义语。

参考文献

[1]九章算术.郭书春汇校.沈阳：辽宁教育出版社，1990.汇校《九章算术》增补版.辽宁教育出版社，台北九章出版社联合出版，2004.本文凡引《九章筭术》文字均据后者.*郭书春汇校.九章筭术新校.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

[2]算数书.江陵张家山汉简整理小组.江陵张家山汉简《算数书》释文.文物，2000，9：78～84.

[3]郭书春.《筭数书》校勘.中国科技史料，2001，22（3）202～219.本文中所引《筭数书》之文字，凡未加说明的，均用后者.

[4]彭浩.中国最早的数学著作《算数书》.文物，2000，9：85～90.

[5]九章算术.郭书春译注.沈阳：辽宁教育出版社，1998：9～24.

[6]九章筭经.宋刻算经六种.北京：文物出版社，1980.

[7]郭书春.古代世界数学泰斗刘徽.济南：山东科学技术出版社，1992：87～90.繁体字修订本.台北：明文书局，1995：85～88.*再修订本.山东科学技术出版社，2013.

[8]孟子·梁惠王下.十三经注疏.北京：中华书局，1980：2 647.(www.xing528.com)

[9]彭浩.张家山汉简《算数书》注释.北京：科学出版社，2001.

[10]苏意雯，等.《算数书》校勘.HPM通讯（台湾师范大学），2000，11.

[11]郭世荣.《算数书》勘误.内蒙古师范大学学报（自），2001，3.

[12]邹大海.《算数书》初探.自然科学史研究，2001，20（3）.

[13]郭书春.试论《筭数书》的理论贡献与编纂.第9届国际中国科学史会议（香港，2001.10）论文.法国汉学，第六辑.北京：中华书局，2002：505～537.

【注释】

[1]此为《筭数书》的小标题名。下同。

[2]这里实际上只涉及36条，因为有5条重出。然而重出者有2种表示方式，故重复计算。

[3]这里实际上只涉及44条。除了第2类重出5条外，第1类与第2类还重出2条。亦因为系2类表示方式，亦重复计算。

[4]《筭数书》中“除”“郓都”“刍”“旋粟”“囷盖”“圜亭”“井材”等有关体积的题目，以及“粟求米”“粺毇”等条中的题目，除数都是常数，没有称为“法”，不在讨论之列。对这类除数，《九章筭术》也没有称为“法”。

[5]此条笔者原校勘不妥，今依刘金华校勘。见：刘金华，《算数书》集校及其相关问题研究，武汉大学博士论文。

[6]条目后的阿拉伯数字指此条所含该种表述方式的题目数，下同。

[7]“取程”条中有3个题目，释文中有2个题目以“几何”发问。第3个题目未以“几何”发问，《〈筭数书〉校勘》一文误补，今恢复原文。

[8]“行”条以“问：何日初行”发问，权归此类。