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《郭书春数学史自选集下册》中法实表示方式的分析

更新时间:2025-01-19 工作计划 版权反馈
【摘要】:说“如法而一尺”。术文的最后说“实如法一”。术文的最后说“实如法得尺”,只有1条,即“女织”。《筭数书》中法、实与“实如法”的表示方式共有7类19种,涉及55条,比分数、答案、问题的提出与发问等的表示方式都纷杂得多。第1类引入的时间最早,当时尚未产生“法”与“实”等术语,只用“如(或令)……而一(或得一)”表示除法。

《筭数书》的除法有的没有“法”“实”的名称,有的只指出“法”,或只指出“实”,有的指出了“法”与“实”,却没有术语“实如法而一”,有的则“法”“实”“实如法而一”俱全。我们详细分析如下:

1.术文未指明“法”与“实”

(1)最后说“令……而一”。比如“取程”条第3个题目:

取程五步一斗。今千之一斗一升。欲减田令一升。术曰:以一升数乘五步,令十一而一。

(2)最后说“如……成一数也”。比如“秏租”条的题目:

取程七步四分步一而一斗。今干之七升少半升,欲求一斗步数。术曰:直十升,以乘七步四分步一,如干成一数也。

(3)最后说“除……而得一”。“丝练”的术文便是如此:

以级丝求练丝,因而十二之,除十六而得一。

(4)最后说“如……得一步”。如“启从”条的第1个题目:

广廿三步,为启从求田四亩。术曰:直四亩步数,令如广步数,而得从一步。

其引文中的题目的答案均被略去。这里给出了除数和被除数,但未冠以“法”和“实”的名称。[4]用“令”“如”“除”表示“除”的运算,而用“而一”“成一”“得一”表示“除”的结果。

2.术文只指明“法”,说明了被除数而未以“实”名之

这里有2种情况:

(1)最后说“如法而成一”。“约分”条的“其一术”便是如此:

其一术曰:以分子除母,少,以母除子,以为法。子、母各如法而成一。

(2)最后说“如法得一尺”“如法一尺”“令如法一尺”“除如法得一尺”(或其他单位)。前面引出的“共买材”条中题目的术文最后就是“如法得一钱”,“舂粟”“负炭”条中的题目也是如此。又如“铜秏”条题目:

铸铜一石秏七斤八两。今有铜一斤八两八朱,问:秏几何?术曰:直一石朱数为法,亦直七斤八两者朱数,以一斤八两八朱者朱数乘之,如法一朱。

“取程”条的第1个题目、“米出钱”条的2个题目皆亦如此。又如“税田”条的题目:

税田廿四步,八步一斗,租三斗。今误券三斗一升,问:几何步一斗?术曰:三斗一升者为法,十税田,令如法一步。

“粟米并”条的第2个题目亦如此。少广术的最后为“除积步如法,得从一步”。“少广”第2条的第1个题目的最后亦为“除如法,得从一步,为从百六十步”。这种情况共有10条。

此外,“程竹”的原简亦只指明了法,未说明被除数,疑有脱误。

3.术文只指明“实”,说明了除数而未以“法”名之,最后说“令……而成一”

“以圜材方”“以方材圜”2条便是如此。以“以圜材方”为例:

以圜材为方材,曰大四韦二寸廿五分寸十四,为方材几何?曰:方七寸五分寸三。术曰:圜材之径即方材之一面也,因而五之为实,令七而一,四而成一。[5]

4.术文只指明了“法”和“实”,其后无其他文字

如“相乘”条中的乘分术:

乘分之术曰:母乘母为法,自相乘为实。

属于这种情形的还有:分乘、径分、出金、狐皮、负米、传马、医、石、贾盐、租误券、粟求米、米求粟*、米粟并、粟米并、卢唐、羽矢、分钱、方田、启广,连同“相乘”条在内,凡20条,是最多的一种,约占《筭数书》中使用除法的条目的

5.术文在指明了“法”与“实”之后,只说“如法”,而不说“实如法”

有6条属于这种情形。它们之中又有细微区别:

(1)说“如法成一”。此种只有“合分”条的“合分术”的第2段术文:(www.xing528.com)

母相类者,子相从。其不相类者,母相乘为法,子互乘母,并以为实,如法成一。

(2)说“如法一钱”。亦只1条,即“羽矢”第1条的题目:

羽二翭五钱。今有五十七分翭卅七,问:得几何? 术曰:二乘五十七为法,以五乘卅七为实,如法一钱。

(3)说“如法而一尺”。“妇织”条题目的术文便是如此。另外,“并租”条题目的术文使用“为法而一斗”。

(4)说“如法得一步”,有“误券”“大广”2条。以“大广”条为例:

广十二步卌九分步之七,从十三步七分步之四,问:为田几何?大广术曰:直广、从,而各以其分母乘其上全步,令分子从之,令相乘也为实。有各令分母相乘为法。如法得一步。

6.术文在指明了“法”与“实”之后,最后说“实如法……一”

有6条是如此。它们之中也有细微区别:

(1)说“实如法而一”,有“合分”“桼”2条。比如“合分”条的又术:

有曰:母乘母为法,子羡乘母为实,实如法而一。

(2)说“实如法得一”,有“狐出关”“取枲程”2条。“狐出关”的题目在前面已经引出,其术文是:

术曰:令各相倍也,并之,七,为法。以租各乘之,为实。实如法得一。

(3)术文的最后说“实如法而成一”。“粟米并”条有一题,题目已残,不可辨认,术文却完整。其术文是:

其术曰:直米、粟,五米三粟,并,以为法。并米、粟,各乘之,为实。实如法而成一。

(4)术文的最后说“实如法一”。“启从”条“求从术”的第2段便是如此:

即以广、从相乘,凡令分母相乘为法,分子相乘为实,实如法一。

7.术文在指明了“法”与“实”之后,最后说“实如法……钱(或其他单位)”

有7条属于这类方式。它们之中也有细微区别:

(1)术文的最后说“实如法得一钱(或其他单位)”。有金贾、桼钱、缯幅、挐脂、息钱等5条采用这种方式,如“金贾”条的问题是:

金贾两三百一十五钱,今有一朱,问:得钱几何?术曰:直一两朱数以为法,以钱数为实,实如法得一钱。

(2)术文的最后说“实如法一步”,只有1条,即“启从”条“求从术”的第1段术文:

广分子乘积分母为法,积分子乘广分母为实,实如法一步。

(3)术文的最后说“实如法得尺”,只有1条,即“女织”。此问题是:

邻里有女恶自善也织,日自再,五日织五尺。问:始织日及其次各几何?术曰:直二、直四、直八、直十六、直卅二,并,以为法。以五尺偏乘之,各自为实。实如法得尺。

这条于“尺”前无“一”字,权归此项。

《筭数书》中法、实与“实如法”的表示方式共有7类19种,涉及55条,比分数、答案、问题的提出与发问等的表示方式都纷杂得多。从上面的归纳中,我们大体可以看出引入这些表达方式的先后顺序。第1类引入的时间最早,当时尚未产生“法”与“实”等术语,只用“如(或令)……而一(或得一)”表示除法。随着除法运算的增多,需要确定除的标准,并赋予一个专门术语,这就是“法”;后来又赋予被除数一个专门术语,这就是“实”。“法”在除法中的地位要比“实”重要,这就是为什么只指出“法”的条目远比只指出“实”的条目多。“法”的产生应该比“实”早一些。在“法”与“实”都产生之后,产生了第4类,后来产生了第5类,最后产生了第6、7两类表述方式。当然,这种发展过程不可能是直线的,有些表述方式必然存在着共存时期。

《九章筭术》及此后中国传统数学著作的“术”或“法”“草”中使用除法时,一般都分别与《筭数书》的第6类第(1)、(2)种,第7类第(1)种相同,即先说明“法”,再说明“实”,然后使用术语“实如法而一”“实如法得一”或“实如法得一尺(或其他单位)”表示以法除实。

很明显,在《筭数书》的19种不同的表示方式中,后来的《九章筭术》与之一致的,只有“实如法而一”“实如法得一”“实如法得一钱”这3项,9条,不足《筭数书》中使用除法的条目的。即使将整个第6、7两类方式都算在内,也才13条,亦不足

并且,在《九章筭术》中,一般说来,凡是抽象性的术文都使用“实如法而一”或“实如法得一”,而具体计算的术文大都使用“实如法得一钱”。两者的分野相当清楚。[7]《筭数书》中两者的分野却不那么清楚。比如,采用“实如法而一”的固然有“合分术”这样的抽象性术文,然而也有“桼”这样的抽象性不高的具体运算;采用“实如法得一”的“狐出关”“取枲程”2条却都是具体运算。

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