数学史自选集：术与问题的关系

魏晋以后的数学著作中，“术”通常都是置于问题与答案之后，几乎没有例外，而且，“题”与“术”大都采取一一对应的关系。许多学者说《九章筭术》也是如此，这是一个误解。实际上，《九章筭术》中术与问题的关系，有各种不同的方式：或者在几个问题前提出总术，那么，问题中又有“术”，这种“术”是问题前的总术的应用；或者在几个问题后提出一条或几条总术，那么问题中不再有“术”，只有答案；也有的是每个问题之后都有一条答案与一条“术”。就是说，在《九章筭术》中，“题”与“术”并不是一一对应的关系。《筭数书》与《九章筭术》十分类似，其术与问题的关系也是多种多样的。我们可以大体归纳成如下几类：

1.独立立条的术

独立立条的术，我们在第一节中已引出“少广术”，此不赘。“少广”条中还有“少

广术”的逆运算。这类独立立条的术还有：

条　　　　　　　　　　　　　　　术

分乘　　　　　　　　　　　　　分乘分术

石　　　　　　　　　　　　　石术

误券　　　　　　　　　毋升者、券有者、券有升者

粺毇　　　　　　　　　　　粟米互换15术

粟求米　　　　粟求米、粟求麦、粟求粺、粟求、米求粟

丝练　　　　　　　　　　　　　级丝求练

共6条，26种术文。

2.术在前而题在后

术在前而题在后，比如“约分”条：

约分 约分术曰：以子除母，母亦除子，子、母数交等者，即约之矣。

有曰：约分术曰：可半，半之。可令若干一、若干一。其一术曰：以分子除母，少，以母除子，子、母等，以为法。子、母各如法而成一。不足除者可半，半母亦半子。二千一十六分之百六十二，约之，百一十二分之九。

先给出3道术文，后有1道例题。“里田”条也属于这种情形，有5道术文，1个例题。《筭数书》中术在前而题在后的情形共有2条，8种术文，2个题目。

3.题在诸术之间

我们在第一节已引出“合分”条就是题在诸术之间，有4道术文，1道例题，例题前有2术，例题后有2术。属于此种情形的还有：

条　　　　术　　题　术

粟求米　粟求米　1 　 术

米求粟　米求粟　1 　 术(www.xing528.com)

《筭数书》中题在诸术之间者共有3条，8条术文，3个题目。

4.题在前，术在后

这里又有各种情况：

（1）一题一术。我们在第一节中引出的“息钱”条便是这种情形。此外还有：共买材、狐出关、狐皮、女织、并租、负米、金贾、舂粟、铜秏、传马、妇织、羽矢、桼钱、缯幅桼、税田、医、贾盐、秏租、取枲程、租误券、米粟并、负炭、卢唐、羽矢、行、分钱、方田、除、郓都、刍、旋粟、囷盖、圜亭、以圜材方、以方材圜、圜材^[7]、启广、大广，共有40条，40个题目，40种术文。

（2）二题二术。我们在第一节引出的“出金”条就是这种情形。此外还有径分、程竹、挐脂^[8]、米出钱，共有5条，10个题目，10种术文。

（3）三题二术。只有1条，即“取程”条：

取程 取程十步，一斗。今千之八升，问几何步一斗？得田十二步半一斗。术曰：八升者为法。直一升步数而十之，如法一步。竞程卅七步，得禾十九斗七升。问几何步一斗？得曰：减田一步有百九十七分步百七十三而一斗。取程五步一斗，今千之一斗一升。欲令一升。得曰：减田十一分步五。术曰：以一升数乘五步，令十一而一。

此条只存二术，可能脱一术，故置此。

（4）三题四术。只有1条，即“启从”条：

启从 广廿三步，为启从求田四亩。曰：启从卌一步廿三分步之十七。术曰：直四亩步数，令如广步数，而得从一步。不盈步者，以广命分。复之，令相乘也。有分步者，以广乘分子，如广步数，得一步。广八分步之六，求田七分步之四，其从廿一分之十六。广七分步之三，求田四分步之二，其从一步六分步之一。求从术：广分子乘积分母为法，积分子乘广分母为实，实如法一步。即以广、从相乘，凡令分母相乘为法，分子相乘为实，实如法一。

实际上，有2道“求从术”，并各有1道逆运算术文，共4道术文。

（5）二题三术。亦只有1条，即“粟米并”条：

粟米并 米一、粟二，凡十斗，精之为七斗三分升一。术曰：皆五，米、粟并为法。五米、三粟，以十斗乘之为实。有米、粟不知数，合粟、米精之为米一斗，问：米、粟各出几何？得曰：米六升四分升之一，粟三升四分升之三。术曰：直米五升，粟五升。粟五升为米三升，并米五升者八，以为法。乃更直三升、五升，而十之。令如法，粟、米各一升。……其术曰：直米、粟，五米三粟，并，以为法。并米、粟，各乘之，为实。实如法而成一。

此条只存完整的二题三术，另二题残。

（6）九题九术。亦只有1条，即“少广”，我们在第一节已经引出。

第4类总计有49条，69道题目，70道术文。

5.二题二术，二题分居二术前后

只有1条，即“井材”条：

井材 圜材、井窌若它物，周二丈四尺，深丈五尺，积七百廿尺。术曰：耤周自乘，以深乘之，十二成一。一曰：以周乘径，四成一。积一百半，问：径几何？

此条的第2题残缺，故作为二题二术。

总之，在上述62条中，涉及到74道题，114道术。它们的关系，有术文独立列条者，有术前题后者，有题在诸术之间者，有题前术后者，有诸术在诸题之间者等各种不同的情形。我们在第一节中已经指出，独立列条的诸术，紧随其后的条目往往是它的具体应用，因此，它们应归于术前题后的情形。又，题在两术之间的情形，后一术通常是前一术的具体应用。如此说来，属于“术前题后”的情形者有17条，20道题，59道术。这些术文都是抽象性术文。它们的抽象性及其与题目的关系与《九章筭术》中先列出抽象性总术，再列出若干个例题的情形极为相似。不考虑已经归于上述情形的题、术，并且将二题分居二术前后的情形归于这一类，那么，“题前术后”的情形有45条，54道题，55道术。这与《九章筭术》中一部分的题、术关系极为相似。总之，《筭数书》的题、术关系多种多样，与《九章筭术》相类似，而与《孙子筭经》等算经都是一题一术，术在题后的情形是不同的。^[9]