数学问题的表述方式与演变

《九章筭术》及其以后的数学著作，在表述一个数学问题时，大都采用“今有……。欲（或今）……，问……几何？”的方式。《筭数书》则没有统一的模式。概括说来，《筭数书》提出数学问题的方式有2类。

1.不以“几何”发问，采取直叙方式者

取程……。今……，欲求……。（秏租、取程^[4]）

……。今有……，欲……。（共买材）

今有……，……。（里田）

……，为……求……。（启从3^[5]）

……，……（约分、径分2、秏8、粟米并、除、郓都、刍、旋粟、囷盖、圜亭、井材）

……（少广9）

这里共6种，35个题目。其中最后一种，“少广”条9个题目，是将题设与术结合在一起叙述的，而没有任何题设、所求、答案与术的提示文字。这类问题的提出可能相当早，或许是中国传统数学问题的最原始状态。

2.以“几何”发问者

今有……，为几何？（合分）

今有……。问……几何？（挐脂）

今有……。当为……几何？（贾盐、粟求米、米求粟）

今有……。……几何而为……？（出金）

有……。今……，问……几何？（出金、妇织）

有……。问……几何？（挐脂、米粟并、粟米并）

……。……。问……几何？（狐出关、狐皮、女织、负米、桼、分钱、大广）

……。今（有）……，问……几何？（并租、金贾、舂粟、铜秏、传马、羽矢、桼钱、缯幅、息钱、租误券、负炭、米出钱2）

……，……几何？（方田、以圜材方、以方材圜、圜材、井材）(www.xing528.com)

……。今……，问几何……？（税田、行）

……，为……几何……？（启广）

取程……。今……，问几何……？（取程2、取枲程）

程……。问几何……？（取程）

程（曰）……。今（欲）……，……几何？（程竹、医、卢唐、羽矢）

这里共14种，都以“几何”发问。这又可以分为各项情形。

（1）以“今有”起首，以“几何”发问。有4种方式，有6个题目，在《筭数书》中的分量相当小。但是，这项方式成为后来中国传统数学中表述数学问题的标准方式，《九章筭术》及其后来的著作都采用这项方式。

（2）以“有”字起首，以“几何”发问。有2种方式，5个题目。它与第（1）项的区别只是没有“今”字。大约是比第（1）项稍早的一种表述方式。

（3）题设前没有任何提示的词语，以“几何”发问。有5种方式，28个题目，在《筭数书》中所占比重最大。其中，“……。今有……，问……几何”的方式的题目最多，有13个；“……。……，问……几何”的方式的题目次之，有7个。两者的区别仅在于后者的第2句话没有“今有”2字，实际上是一种方式。

（4）以“程”或“取程”起首，以“几何”发问。有4种，8个题目。“程”的本义是度量。《说文解字》：“十发为程，十程为分，十分为寸。”[11]“程”后来引申为标准、法则的意思。《荀子·致仕》：“程者，物之准也。”[12]《九章筭术》商功章中“功程积实”“冬程人功”“春程人功”“夏程人功”“秋程人功”“程功尺数”“程粟”等，都是指人功与粟米的标准量。《筭数书》中的“程”也是标准的意思，“取程”与“秏租”条中的“程”都是指禾粟晒干后的标准量，“取枲程”指大麻的围束晒干后的标准量，“程竹”是指用竹做竹简的标准量，而“医”条中的“程”则指对医师治病的报酬的规定，“卢唐”“羽矢”等条中的“程曰”则是用竹做饮器、矢的标准工作量的规定，“程禾”则规定了粟米互换的标准。这些标准是由各诸侯国，或某级政府规定的，作为计算赋役、租税、劳动报酬、官方工场的工作量，以及粟米互换的依据。在“学在官府”，私学没有产生或尚不发达的古代，比如三代或春秋时期，这类问题就应该产生了，并且是当时提出数学问题的主要方式。也就是说，这项表述方式应该最先出现。实际上，“程曰”“取程”在题目中的作用与后来的“有”“今有”的作用是一样的。“今”犹“若”，表示“假设”。《孟子·梁惠王下》：“今王与百姓同乐，则王矣。”[13]“程”与“今有”（或“有”）两者都是“假设”，其区别在于前者是官方或权威部门的规定，后者是当事人的约定。

我们可以大体可以推测这几种表述方式产生的先后顺序。首先是“学在官府”的时代，人们根据官方或权威部门的有关规定，以“程”起首提出若干数学问题。后来，随着民间活动的增加，以及“礼崩乐坏”，学术下移，民间对人们生产、生活中的某些活动的数量关系作了一些约定，成为数学家提出数学问题的依据。为了与官方的规定相区别，表示其民间性质，在叙述这类约定时，当然不能加“程”字，也不做任何别的提示。再后来，民间的数量约定越来越多，所施行的范围越来越大，为强调其权威性或其约束性，便在这类约定前加“有”字，表示其确定的，可以计数的。最后，人们在“有”前加“今”字，变成“今有”。“今有”逐渐演变成为统一的、规范的表述方式。以“今有”起首提出数学问题，说明这类问题不一定来源于现实的生产与生活，也可以是数学工作者因于某种需要，根据数学法则设计的。因此，“今有”的使用，不仅是数学问题表述术语的改变，更重要的，是数学发展到一定阶段，数学方法离开现实生产、生活的原型进行抽象的产物，是有重大意义的。总之，上述四项表述方式产生的顺序应该是：

“程曰……。今……，问……几何？”

→→“……。今……，问……几何？”

→→“有……。今……，问……几何？”

→→“今有……。问……几何？”

不过，由于“程”带有官方规定的性质，在以“今有”规范数学问题的提出之后，它仍然以某种形式保留了下来。《九章筭术》商功章的“冬程”“春程”“夏程”“秋程”等“功程”是这类例子，均输章的“程传委输”也是这类例子。

以上2类共有21种不同的表述方式，涉及到72个题目。在数学问题的这两类表述方式中，直叙的方式总地说来要比以“几何”发问的方式早，但是两种方式不可避免地会有交叉。