九章筭术中的大广术与里田术详解

“大广术”与“里田术”都是长方形田地面积的计算问题。不过，“大广”的意义并不是“广”特别大，而是指带有分数的“广”。这从《筭数书》与《九章筭术》中“大广术”的例题便可明白。李淳风等也明确指出了这一点：“大广田知，初术直有全步而无余分，次术空有余分而无全步，此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。”[4]“初术”指《九章筭术》的“方田术”，“次术”指“乘分术”，都是《筭数书》所没有的。“里田术”则是计算以里为单位的田地面积。

1.大广术

“大广术”在第69条：

大广 广十二步四十九分步之七，从十三步七分步之四，问：为田几何？曰：为百六十四步有三百四十三分步之二百七十三。大广术曰：直广从，而各以其分母乘其上全步，令分子从之，令相乘也为实。有各令分母相乘为法。如法得一步。不盈步，以法命之。

术文相当抽象，先将带分数化为假分数，分子相乘为实，分母相乘为法，实除以法，即得。例如：

2.里田术

“里田术”在第70条，即《筭数书》的最后一条：(www.xing528.com)

里田 里田术曰：里乘里，里也。广、从各一里。即直一，因而三之，有三五之，即为田三顷七十五亩。其广从不等者，先以里相乘，已，乃因而三之，有三五之，乃成。今有广二百廿里，从三百五十里，为田廿八万八千七百五十顷。直提封以此为之。一曰：里而乘里，里也。壹，三而三五之，即顷亩数也。有曰：里乘里，里也。因而五之，以里之下即予廿五，因而三之，亦其顷亩数也。曰：广一里、从一里，为田三顷七十五亩。

抽象性的术文有4段，实际上只有2种。一是广、从相等的，并且是广、从各1里。一是广、从不相等的。都是广、从相乘，然后化成顷亩数。有2个例题。一个是：

1里×1里=1（平方）里=3顷75亩。

与《九章筭术》“里田术”的第1个例题相同。另一个题目是：

220里×350里=77 000（平方）里=288 750顷。

这个题目的广、从长达二、三百里，是《九章筭术》所没有的。《筭数书》说“直提封以此为之”。“封”是古代地积单位。《汉书·刑法志》：“地方一里为井，井十为通，通十为成，成方十里；成十为终，终十为同，同方百里；同十为封，封十为畿，畿方千里。”[8]这个题目显然是用于计算分封或占据的大面积的土地的。