《九章筭术》：赢不足术的应用与局限

赢不足类问题在《筭数书》中有三条，这就是第52条“分钱”，第53条“米出钱”，第54条“方田”，分量不可谓多，却十分重要。“赢不足”在《九章筭术》中称为“盈不足”，是其第七章。《释文》据此改“赢”作“盈”，是不妥当的。郑玄注《周礼》之“九数”引郑重说，此正作“赢不足”。可见，此项内容，在先秦称作“赢不足”，大约汉代张苍等整理《九章筭术》时，才改称“盈不足”。“分钱”条是：

分钱 分钱人二而多三，人三而少二，问：几何人、钱几何？得曰：五人，钱十三。术曰：赢不足互乘母，并之为实，子相从为法。皆赢若不足，子互乘母而各异直之，以子少者除子多者，余为法，以不足为实。

这是一条抽象性术文，包含了赢不足、两赢、两不足3种情形，与《九章筭术》的术文大体相同。赢不足术在“分钱”题中的应用十分简单：

赢、不足以少减多，余1，以约法、实，分别为人数与钱数。

“米出钱”条是：

米出钱 粺米二斗三钱，粝米三斗二钱。今有粝、粺十斗，卖得十三钱，问：粝、粺各几何？曰：粺七斗五分三，粝二斗五分二。术曰：令偕粺也，钱赢二；令偕粝也，钱不足六少半。同赢、不足以为法，以赢乘十斗为粝，以不足乘十斗为粺，皆如法一斗。米斗一钱三分钱二，黍斗一钱半钱。今以十六钱买米、黍凡十斗，问：各几何，用钱亦各几何？得曰：米六斗、黍四斗，米钱十、黍六。术曰：以赢不足，令皆为米，多三分钱二；皆为黍，少钱。下有三分，以一为三，命曰多二少三，并多而少为法。更异直二、三，以十斗各乘之，即贸其得。如法一斗。

这是将赢不足术应用于求解一般算术问题。此条有2个问题。在第1个问题中，假设10斗都是粺米，1斗粺米钱，10斗为15钱，赢为15钱-13钱=2钱；假设10斗都是粝米，1斗粝米钱，10斗为钱，不足为13钱-钱=钱。应用赢不足术，

同样可以求出粝米=2斗。

在第2个问题中，假设10斗都是米，1斗米1钱，10斗为钱，赢为钱-16钱=钱；假设10斗都是黍，1斗黍1钱，10斗为15钱，不足为16钱-15钱=1钱。因赢是以3为分母分数，便以1为3，赢化为2，不足化为3应用赢不足术，(www.xing528.com)

米=（10斗×3+0×2）÷（2+3）=6斗，

米钱=1钱×6=10钱。

同样求出黍=4斗，黍钱=6钱。

“方田”条是：

方田 田一亩，方几何步？曰：方十五步卅一分步十五。术曰：方十五步不足十五步，方十六步有余十六步。曰：并赢、不足以为法。不足子乘赢母，赢子乘不足母，并以为实。复之，如启广之术。

这是已知田1亩为正方形，求其边长的问题。这是面积问题的逆运算。这类问题在《九章筭术》中是用开方术求解的，1亩为240（平方）步，即用求解。《筭数书》却用赢不足术求解。假设其边长为15步，面积=15步×15步=225（平方）步，不足为240（平方）步-225（平方）步=15（平方）步；假设其边长为16步，面积=16步×16步=256（平方）步，赢为256（平方）步-240（平方）步=16（平方）步。应用赢不足术，

边长=（15步×16+16步×15）÷（15+16）=15步。

这是一个二次问题。用赢不足术只能求出近似解。这也许反映出人们设计这个问题时还不会开方术。《九章筭术》中没有用赢不足术求解面积问题的例题。