1.分数的性质
分数的性质在《筭数书》的第4，5，6条。第4条是：
增减分 增分者，增其子；减分者，增其母。
它的意思是明显的：要增加一个分数的值，可以通过增加它的分子来实现；要减小一个分数的值，可以通过增加它的分母来实现。第5条是：
分当半者 诸分之当半者，倍其母；当少半者，三其母；当四分者，四其母；当五分者，五其母；当十、百分者，辄十、百其母。如欲所分，虽有百分，以此进之。约分 约分术曰：以子除母，母亦除子，子、母数交等者，即约之矣。
笔者将第6条并入第5条。显然，此条是第4条“增减分”原理的具体应用。
2.分数四则运算
分数的四则运算在《筭数书》第1，2，7～10条中，包括了分数的约简和加、减、乘、除的方法。
（1）约分 分数的约简称做约分，是第7条：
有曰：约分术曰：可半，半之。可令若干一、若干一。其一术曰：以分子除母，少，以母除子，子、母等，以为法。子、母各如法而成一。不足除者可半，半母亦半子。二千一十六分之百六十二，约之，百一十二分之九。
这里有两条抽象性术文，其程序完全一致，亦与《九章筭术》的“约分术”[4]一致，只是三者的表述文字略有差别。“除”，减也。这是说，如果分子、分母能同时被二整除，则首先被二除。否则，分子、分母，以小减大，展转相减，直到分子、分母相等，以此相等的数（《九章筭术》称为“等数”）同时约分子、分母。《筭数书》给出了一个例题：约简
。分子、分母都可被2整除，首先约成
；然后，以小减大，展转相减，
(81,1 008)→(81,36)→(9,36)→(9,9)
以9除分子、分母，得
。
（2）合分 分数的加法，《筭数书》称为“合分”，与《九章筭术》相同。《筭数书》第8条“合分”是：
合分 合分术曰：母相类，子相从。母不相类，可倍，倍；可三，三；可四，四；可五，五；可六，六；七亦辄。倍，倍，三、四、五之，如母。母相类者，子相从。其不相类者，母相乘为法，子互乘，并，以为实，如法成一。今有五分二、六分三、十分八、十二分七、三分二，为几何？曰：二钱六十分钱五十七。其术如右方。有曰：母乘母为法，子羡乘母为实，实如法而一。其一曰：可十，十；可九，九；可八，八；可七，七；可六，六；可五，五；可四，四；可三，三；可倍，倍；母相类止。母相类，子相从。
这里有四段抽象性术文，都是首先区分相加的各个分数是不是同分母。《筭数书》将同分母称为“相类”。如果是同分母，则将诸分子相加。如果不是同分母，则有两种方法处理。第一、四段术文是第一种方法，这是将各个分数的分母根据情况分别乘以2，3，4…，直到化成同分母为止，分子亦分别乘同样的数，然后将诸分子相加。第二、三段术文是第二种方法，这是将诸分母互乘，作为法，分子互乘分母，相加，作为实，实除以法。以三个分数为例：
显然，第一种方法比较复杂，而第二种方法则与《九章筭术》的“合分术”相同。《筭数书》给了一个求
的例题。《释文》的数字错讹严重，我们作了校勘。
（3）减分与课分 分数减法在《九章筭术》中称为“减分术”。《筭数书》有分数减法的抽象性术文与例题，却无“减分术”的名称。《筭数书》更无“课分”与“课分术”的名称。但是有求解一个分数益之多少而成为另一个分数的问题，类似于《九章筭术》的“课分术”，故借用这个术语，难以确切。两者的例题与术文在第10条“出金”中：
出金 有金三朱九分朱五。今欲出其七分朱六，问：余金几何？曰：余金二朱六十三分朱四十四。其术曰：母相乘也为法，子互乘母，各自为实，以出除焉，余即余也。以九分朱乘三朱，与小五相并。今有金七分朱之三，益之几何而为九分七？曰：益之六十三分朱廿二。术曰：母相乘为法，子互乘母，各自为实。以少除多，余即益也。(www.xing528.com)
显然，这里给出的两个问题其实质相同而稍有差别。第1个例题是求一个分数减另一个分数的余数，第2个例题是求一个分数加上多少而得到另一个分数。两者都给出了抽象性术文，并且其程序一致，用现代符号表示就是：
也都与《九章筭术》相同。
（4）乘分 分数乘法在《筭数书》中有两个名称，在第1条“相乘”中称为“乘分术”，与《九章筭术》相同。在第2条“分乘”中称为“分乘分术”。前者是：
乘分之术曰：母乘母为法，子相乘为实。
后者是：
分乘 分乘分术皆曰：母相乘为法，子相乘为实。
两者几乎完全一致，亦即：
都与《九章筭术》的“乘分术”相同。除了第1，3条的分数乘法算表外，《筭数书》未给出其他的例题。
（5）径分 “径分”就是以整数除分数的除法，在《九章筭术》中称做“经分”。“径分”在《筭数书》的第9条：
径分 径分以一人命其实，故名。五人分三有半、少半，各受卅分之廿三。其术曰：下有少半，以一为六，以半为三，以少半为二，并之，为廿三。即值人数，因而六之，以命其实。五人分七钱少半钱、半钱。人得一钱卅分钱十七。术曰：下三分，以一为六，即因而六人以为法，亦六钱以为实。有曰，术曰：下有半，因而倍之；下有三分，因而三之；下有四分，因而四之。
这里有两个题目。此条的术文是抽象性的，然而只说明了如何通分，大约因为在通分之后的程序是不言自明的。其通分亦与《九章筭术》的“经分术”“少广术”相同。它的完整程序是：
《筭数书》的“径分术”像《九章筭术》“经分术”的第1个例题一样，其被除数是由“合分术”得出的分数，而除数是一个整数。《九章筭术》“经分术”的第2个例题是除数为分数的情形，《筭数书》的“径分术”没有这类的例题。
（6）石率术 “石率术”在第30条：
石
石
之术曰：以所卖买为法，以得钱乘一石数，以为实。其下有半者倍之，少半者三之，有斗、升、斤、两、朱者亦皆破其上，令下从之以为法，钱所乘亦破如此。
这是一条抽象性术文。这实际上是除数为分数的除法。显然，它类似于《九章筭术》粟米章的第2条“经率术”。不过，后者更宽泛，更抽象，它以“所求率”取代“一石数”，其例题除“石率之”外，还有“斗率之”“丈率之”“匹率之”。[2]《筭数书》随后的一条是“石率术”的应用。这就是“贾盐”条。
贾盐 今有盐一石四斗五升少半升，贾，取钱百五十，欲石
之，为钱几何？曰：百三钱四百卅六分钱九十二。术曰：三盐之数以为法，亦三一石之升数，以钱乘之为实。
其算式是：
钱数=150钱÷1石4斗5
升=（150钱×3）÷（436/300石×3）
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