《管子》与中国古代数学：《考工记》时代中的数学之一

①本文是1996年在第一届中国科技典籍国际会议（山东·淄博）上的报告，发表于《中国科技典籍研究——第一届中国科技典籍国际会议论文集》，大象出版社，1998.

学术界一般认为，含有丰富的科学技术知识的《考工记》是齐国官书。不过，郭沫若认为成书于春秋[1]，侯外庐等则认为可能是战国稷下先生依据内存档案编成书的[2]。以春秋齐国名相管子命名的《管子》[3]一书的成书年代也是学术界众说纷纭的问题。笔者同意这样的看法，即《管子》是齐国法家的著作，是齐国稷下之学推崇管仲的学者们依托管仲而撰写的，是管子学派的著作的汇总[4]。

《管子》与中国古代数学的关系，有些著作已经论及。周瀚光更就管子的重数思想论述了它与法治思想的关系，它在经济、军事和外交方面的应用[5]。本文再进一步阐述一些问题，以就教于同好。

一

《管子》大约是用到“数”字最多的先秦典籍，据统计，“数”字仅在《轻重》现存16篇中就137见[6]。因此，说《管子》重数，是毫不过分的。“数”字有shù，shǔ，shuó，cù等读音[7]，今考察《管子》中读shù之音者的意义，大约有下列几个义项：（1）数量。如“量委积之多寡，定府民之计数”（《幼官图·西方本图》，下文凡是引自《管子》者，均只标明篇名），“万乘之国人数开口千万也”，“铁官之数”（《海王》），“囷窌之数皆见于君矣”（《轻重乙》）。（2）算术、数学。如“虑戏作，造六峜，以通阴阳，作九九之数，以合天道，而天下化之”（《轻重戊》）。（3）方法、策略。如“夫诛暴禁非而赦无罪者，必有战胜之器，攻取之数。”（《小问》），“守天下之数”（《山至数》）。（4）规律、道理。如“天道之数，至则反，盛则衰。”（《重令》），“得乘马之数”（《臣乘马》），“民无鬻卖子者数也”（《臣乘马》）。（5）法制。如“圣君任法而不任智，任数而不任说，任公而不任私，任大道而不任小物，然后身佚而天下治。”（《任法》），“以规矩为方圆则成。以尺寸量长短则得，以法数治民则安。”（《形势解》），“奚仲之为车器也，方圆曲直，皆中规矩钩绳……明主犹奚仲也，言辞动作皆中术数。”（《形势解》），“明主者，有术数而不可欺也。”（《明法解》）（6）命数、术数。如“请问权数”（《山权数》）。《汉语大字典》[7]《汉语大词典》[8]释shù之“数”有十几个义项，实际上可以归纳成上述六类。就是说，古代汉语中“数（shù）”的各个义项，《管子》基本上都具备了。后4个义项好像与算术或数学没有关系，其实不然。古人很推崇数学的作用。《逸书》说：“先其算命。”唐颜师古认为这句话的意思是：“王者统业，先立算数以命百事也。”[9]换言之，统治者处理各种事务都离不开数学。大约是，我们的先民除了认识事物的数量，发现一些运算法则进行计算外，也朦胧地认识到事物数量的变化会引起质的变化，带来若干新的性状；从各种事物乃至社会现象的数量关系中发现处理某些问题的方法、策略；发现某些事物、现象的规律，以至制定规范社会各阶层的道德准则、政策、法令，等等。因此，“数”被赋予了方法、规律、法制等这类好像与数学没有关系的意义。还有一些与数量有关但人们不能驾驭其来龙去脉的现象就被看成有命数在其间。其实，这种命数是事物的各种因素在客观规律作用下的反映，只是人们还不能认识这种规律，便被披上神秘的成分。因此，这种关于与各种事物以及社会现象、自然现象中的数量与因果之间的某种关系，被视为合于天道。

由此可见，《管子》把数学的作用实际上分成两个方面：一是解决国计民生等各方面的数学问题；一是帮助统治者顺天意，掌握社会的经济、政治及社会思潮等方面的发展趋势，制定有利于自己和国家的政治、经济、军事、外交及文化等方面的政策。《汉书·律历志》把这两方面作了精辟的概括：“数者，一、十、百、千、万也，所以算数事物，顺性命之理也。”[9]魏刘徽说：“昔在庖牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六爻之变。”[10]与《管子》《汉志》一脉相承。其中“类万物之情”，就是《汉志》的“算数事物”，也就是解决国计民生中的数学问题；“通神明之德”就是《汉志》的“顺性命之理”。刘徽关于“九九之数”的论述显然源于《管子》。上述《管子·轻重戊》的引文中的“六峜”，张佩纶云：“明十行无注本此‘六峜’作‘大陆’。‘大陆’乃‘八卦’二字之误。”[11]刘徽的话为张氏之说提供了旁证。若然，则刘徽的话是《管子·轻重戊》与《汉志》两者的概括。战国以后，数学的第一个作用得到突飞猛进的发展，这就是以《九章算术》为代表的中国传统数学。而第二个作用，囿于当时的条件，不可能用数学方法准确描绘社会情况和自然现象，逐步发展为数字神秘主义，更在北宋发展为象数学，以至南宋秦九韶尽管仍然说数学“大则可以通神明，顺性命，小则可以经世务，类万物”，把解决国计民生的数学问题视为小者，但承认他自己对“所谓通神明顺性命，固肤末于见”，[12]只对其小者深有造诣，而著《数书九章》。

对《管子》的重数思想发展得最淋漓尽致的是4世纪前后成书的通俗读物《孙子筭经·序》。这个序说数学能“穷道德之理，究性命之情”，认为“夫筭者，天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母……万物之祖宗，六艺之纲纪”[13]。这里已经不只是重数，而是把数学看成一切事物的祖宗。不过，《孙子筭经》的题目除最后一题外，都是日常生活的应用题及趣味题。万物皆数的思想在许多民族的早期都产生过。古希腊毕达格拉斯学派把数看作真实物质对象的终极组成部分，一切对象由数组成。而柏拉图则主张哲学家要学习数学，“因为他必须跳出茫如大海的万变现象而抓住真正的实质，所以他必须是个算术家”[14]。相隔万里的不同的文化传统对数学有如此相近的看法是十分有趣的。

二

《管子》认为，统治者办任何一件大事，必须懂得计数。它指出，要成就一件事，必须能“治民”，即“和民一众”。要“和民一众”，必须“是必立，非必废，有功必尝，有罪必诛”。没有这四项“而能治民者，未之有也”。然而，只做到这四项，也未必能达到安治，还需具备“形势器械”。换言之，做到这四项，又具备形势器械，就可以达到治民。同样，能治民又明于为兵之数，就能强兵；能强兵，又明于胜敌国之理，就能胜敌国；能胜敌国，又能明于正天下之分，就能天下。因此，上述四项是正天下的必要条件，而治民有器，为兵有数，胜敌国有理，正天下有分，是正天下的充分条件。而治民有器，为兵有数，胜敌国有理，正天下有分要有一定的原则，这就是七法：则、象、法、化、决塞、心术、计数。这七法的含义是什么呢？“人民鸟兽草木之生物，虽不甚多，皆均有焉，而未尝变也，谓之则。”就是说，“则”是不依人们的意志为转移的客观规律。“义也，名也，时也，似也，类也，比也，状也，谓之象。”就是说，“象”是形象、类状。“尺寸也，绳墨也，规矩也，衡石也，斗斛也，角量也，谓之法。”就是说，“法”是数量关系和空间形式的度量标准。“渐也，顺也，靡也，久也，服也，习也，谓之化。”就是说，“化”是教化。“予夺也，险易也，利害也，难易也，开闭也，杀生也，谓之决塞。”就是说，“决塞”是因势利导。“实也，诚也，厚也，施也，度也，恕也，谓之心术。”就是说，“心术”是道德准则。“刚柔也，轻重也，大小也，虚实也，远近也，多少也，谓之计数。”就是说，“计数”就是数学运算。《管子》认为这七法“根天地之气，寒暑之和，水土之性”，是至关重要的。“错仪画制，不知则不可。论材审用，不知象不可。和民一众，不知法不可。变俗易教，不知化不可。欧众移民，不知决塞不可。布令必行，不知心术不可。举事必成，不知计数不可。”（《七法》）

《管子》“七法”中有三项直接与数学有关，或本身就是数学。“法”就是度量衡和规矩准绳，由此产生出数量关系和空间形式；“象”也包含了客观事物的空间形式。数量关系和空间形式是数学中进行数量运算和图形分解的对象。“计数”就是计算，它包含的六条不是度量的结果，而是计算的结果。通过计算了解国计民生的一些基本情况，以为维护国家安定，制定富国强兵的方针政策的依据。管仲是齐国法家的先驱。《管子》的作者是管子法家思想的继承者，著书时正是田齐威王、宣王变法强国，力图再展桓、管霸业，并进而称帝，企图统一中国的时候。《管子》一书正是这一变法改革的产物。它的主导思想是齐国以法治国的法家政治理论[15]。由《管子》对七法的论述可见数学在管子学派法家政治理论中所具有的举足轻重的地位。它明确指出：“察数而知治，审器而识胜。”（《幼官》）而“不明于计数而欲举大事，犹无舟楫而欲经于水险也”。

《管子》特别重视数学在理财中的作用。它指出：凡要立事，需“审用财，慎施报，察称量”（《版法》），需“量委积之多寡，定府官之计数”（《幼官图》）。《管子》认为数学运算是调查一国之国情的重要手段，比如，“行其田野，视其耕芸，计其农事，而饥饱之国可知也”；“行其山泽，观其桑麻，计其六畜之产，而贫富之国可知也”；“课凶饥，计师役，视台榭，量国费，而虚实之国可知也”；“计敌与，量上意，察国本，观民产之所有余不足，而存亡之国可知也”等等。通过调查及数学计算，得出五谷、桑麻、六畜等的产量及各种支出，进而得出一个国家之饥饱、贫富、侈俭、虚实、治乱、强弱、法令施行及存亡的趋势等8个方面的情况的结论。《管子·问》又设计了问事65条，实际上是一个关于民情、政治、经济、国防等方面的调查提纲。比如：“问少壮而未胜甲兵者几何人？”“问独夫寡妇孤寡疾病者几何入也？”“问乡之良家，其所牧养者几何人？问邑之贫人债而食者几何家？问理园圃而食者几何家？人之开田而耕者几何家？士之自耕者几何家？”“问宗子之收昆弟者，以贫从昆弟者几何家？余子仕而有田邑今入者几何人？子弟以孝闻于乡里者几何人？余子父母存，不养而出离者几何人？”“群臣有位而未有田者几何人？外人之来从而未有田宅者几何家？国子弟之游于外者几何人？贫士之受责于大夫者几何人？官贱行书，身士以家臣自代者几何人？官承吏之无田饩而徒理事者几何人？群臣有位事官大夫者几何人？”“乡子弟力田为人率者几何人？国子弟之无上事，衣食不节，率子弟不田弋猎者几何人？”“问人之贷粟米，有别券者几何家？问国之伏利，其可应人之急者几何所也？”“问士之有田宅，身在陈列者几何人？余子之胜甲兵有行伍者几何人？问男女有巧伎能利备用者几何人？处女操工事者几何人？冗国所开口而食者几何人？问一民有几年之食也？问兵车之计几何乘也？牵家马轭家车者几何乘？处士修行足以教人，可使帅众莅百姓者几何人？士之急难可使者几何人？工之巧出足以利军伍，处可以修城郭补守备者几何人？城粟军粮，其可以行几何年也？吏之急难可使者几何人？”“其老而死者皆举之，其就山薮林泽食荐者几何？出入死生之会几何？”“问兵官之吏，国之豪士，其急难足以先后者几何人”，“问执官都者，其位事几何年矣？所辟草莱有益于家邑者几何矣？”“所捕盗贼，除人害者几何矣？”共有45个关于各方面情况的数据的问题，约占所有调查问题的十分之七，可见管子学派的社会调查主要调查其数量关系。在这些调查中，许多项目还必须借助于数学运算才能得出结论。

《管子》根据轻重理论，实行“聚轻散重”的物价政策，以达到“无籍而赡国”，即“不益赋而天下用饶”的财政目的[16]，更离不开数学运算。统治者认识到“物多则贱，寡则贵，散则轻，聚则重”的供求规律，“视国之羡不足而御其财物。谷贱则以币予食，布帛贱则以币予衣。视物之轻重而御之以准，故贵贱可调，而君得其利。”（《国蓄》）五谷乃万物之主，在五谷与万物的关系上，“谷贵则万物必贱，谷贱则万物必贵”。货币是商品的等价物，在货币与万物的关系上，“币重而万物轻，币轻而万物重”（《山至数》）。而在谷物与货币的关系上，“粟重而黄金轻，黄金重而粟轻”（《轻重甲》）。统治者认识到这些道理，“操事于其不平之间，故万民无籍而国利归于君也”。就是说，统治者掌握了谷物、货币与万物的比例关系，适当地调节它们的比例，就能增加财源。例如，要计算购买全国谷物所需的货币量，便以方六里为单位，弄清楚其中好田、差田的数量及其谷物的产量，还有谷物的价格，计算出方六里的价钱，以及购买这些谷物的价钱。全国有多少方六里，购买全国谷物所需的价钱应与全国土地数量成比例（《山至数》）。进之，士所受的奉禄，大夫采邑的收入，人民及马匹所得的食物，都以货币计算，则全国的五谷都在政府手中，而货币都散之于民间，聚则重，散则轻，故谷价可以涨之十倍。谷重而万物轻，故万物的价格可以降低十分之二。

这些政策也适用于对外国的贸易政策，力求保持“天下轻我重”（《轻重乙》）的局面。因此，不管是国内的物价政策还是国外的贸易政策的制定，都离不开数学。

盐铁为人们生产生活所必须。齐国靠山临海，盐铁是其财政主要来源之一。《管子·海王》以数学运算说明为什么必须实行盐铁专卖政策。

数学运算可以帮助人们办事有计划。《管子》说：“货尽而后知不足，是不知量也。事已而后知货之有余，是不知节也。不知量，不知节，不可谓之有道。天下乘马服牛，而任之轻重有制。有一宿之行，道之远近有数矣。”（《乘马·士农工商》）又说：“审国变，察其四时，而监其乡之货，以知其市之贾。负任担荷，服牛辂马，以周四方。料多少，计贵贱，以其所有，易其所无，买贱鬻贵，是以羽旄不求而至。”（《小匡》）这都说明了数学在制定计划中的作用。

《管子》论述了运用数学方法使政府取民有度，施仁政的重要性：“地之生财有时，民之用力有倦，而人君之欲无穷。以有时与有倦养无穷之君，而度量不生于其间，则上下相疾也。”会引起国家的动乱。“故取于民有度，用之有止，国虽小，必安。取于民无度，用之不止，国虽大，必危。”（《权修》）数学可以帮助政府根据土地的数量及产量，劳动者消费及成本，国家的需要等计算出征收赋税的恰当的比例，以使人民安居乐业，维护国家的安定。数学还可以使上下无欺：“有权衡之称者，不可欺以轻重，有寻丈之数者，不差以长短。”（《明法》）主张取民有度，限制剥削，反对取民无度，实际上是传统文化中施仁政的内容。南宋数学家秦九韶在《数书九章序》中说：“魁隗粒民，甄度四海。苍姬井之，仁政攸在。代远庶蕃，垦菑日广。步度庀赋，版图是掌。方圆异状，衺窳殊形。叀术精微，孰究厥真。差之毫厘，谬乃千百。公私共弊，盍谨其籍。”因而作“田域”章。“邦国之赋，以待百事，畡田经入，取之有度。未免力役，先商厥功。以衰以率，劳逸乃同。汉犹近古，税租以算。调均钱谷，河菑之扦。唯仁隐民，犹己溺饥。赋役不均，宁得勿思。”因而作“赋役”章。“物等敛赋，式时府庾。粒粟寸丝，褐夫红女。商征边籴，后世多端。吏缘为欺，上下俱殚。我闻理财，如智治水。澄源浚流，维其深矣。彼昧弗察，惨急烦刑。去理益远，吁嗟不仁。”因而作“钱谷”章[12]。显然，在把数学看成统治者开源节流，施仁政的手段方面，秦九韶与管子学派的思想是相通的。

数学既然在国计民生中有这样不可或缺的地位，因此，《管子》主张国家官吏必须掌握数学方法：“审度量，节衣服，俭财用，禁侈泰，为国之急也。不通于若计者，不可使用国。”（《八观》）用国，是说治理国家者，这里可以理解为各级官员。这一思想，秦九韶也是与之相通的。秦九韶说：“若官府会事，则府史一二絫之。算家位置，素所不识，上之人亦委而听焉。持算者唯若人，则鄙之也宜矣。”[12]

三

《管子》的重数思想不是偶然的，它是数学在当时相当发达的反映。钱宝琮说：“虽然没有一本先秦的数学书流传到后世，但无可怀疑的是《九章算术》方田、粟米、衰分、少广、商功等章中的解题方法，绝大部分是产生于秦以前的。”[17]笔者进而指出，《九章算术》确实如刘徽所说是从“九数”发展而来的，西汉张苍、耿寿昌删补而成的。因而各章的主要方法都产生于先秦[18]。日本堀毅考察了《九章算术》与秦汉、先秦的物价之后说：“认为《九章算术》里的物价即汉代物价是颇勉强的。”“《九章算术》基本上反映出战国、秦时的物价。”[19]与笔者的看法实际上殊途同归。《管子》里的数学知识更为这种看法提供了佐证。

上一节中引述的《管子》的大量论述已经清楚地表明：当时人们的数学知识已相当丰富。毫无疑问当时已经娴熟整数和分数的四则运算，各种土地面积的测算，这都是《九章算术》方田、少广章的内容。我们再看其他方面。

《管子·乘马·士农工商》说：“黄金一镒，百乘一宿之尽也。无金则用其绢。季绢三十三制当一镒。无绢则用其布。经暴布百两当一镒。”这是黄金、绢、布之间的比例关系。上面已经谈到，统治者要调整五谷、货币及万物的比例关系，人们当然要通晓比例算法。这正是《九章算术》粟米章今有术。

《管子·小匡》说：“相地而衰其政，则民不移矣。”政，通征。衰，差（cī）也。这是根据田地的肥沃瘠薄，按等级征税，那么人们便会安心农业生产而不流徙。统治者按国家的支出决定土地税的总量，再按等级征收，这要用《九章算术》衰分章衰分术。

《管子·乘马·士农工商》说：“丈夫二犁，童五尺一犁。以为三日之功。”由此可以求一日之功。《管子·立政·省官》谈到“决水潦，通沟渎，修障防，安水藏”，就是水利工程，并规定工师的任务是“论百工，审时事，辨功苦，上完利，监臺五乡，以时钧修焉”。辨功苦就是商功问题。《管子·度地》又谈到城、郭、堤、川、沟、池的修造，还谈到春分之后，“夜日益短，昼日益长，利以作土功之事”。秋分之后则相反，不利于作土功之事。商功问题中考虑到春、夏、秋、冬每人每日所完成的工程量是有差别的，与《九章算术》商功章区别春程、夏程、秋程、冬程人功相吻合。

《管子》注意到人们的平均负担问题。《乘马·士农工商》针对不同的山林土地，提出地之不可食者，山之无木者，涸泽，地之无草木者等百而当一，蔓山等而当一，汛山等十而当一，流水、林泽等五而当一，“命之曰地均”。这实际上是均输问题。赋税、借贷是国计民生的大事。《九章算术》有不少这类问题。《管子》有很多地方谈到赋税：“田租百取五，市赋百取二，关赋百取一。”（《幼官》）“桓公践位十九年，驰关市之征，五十而取一。赋禄以粟，案田而税，二岁而税一。上年什取三，中年什取二，下年什取一。”（《大匡》）《管子》多次提到借贷问题：“民倍贷以给上之征矣。”（《治国》）

《管子·事语》说：“彼天子之制，壤方千里，齐诸侯方百里，负海子七十里，男五十里，若胸臂之相使也，故准徐疾赢不足，虽在下也不为君忧。”马非百认为这里“赢不足”就是《九章算术》的盈不足[20]。“赢不足”在《国蓄》《轻重乙》等篇均作“羡不足”，羡，余也。

《管子》在谈到君臣关系时说：“上惠其道，下敦其业，上下相希，若望参表，则邪者可知也。”（《君臣上》）希，望也。望参表，就是三点共线，是勾股测望中必然要用到的测量方法，以此比喻君臣一致，说明测望是当时的一种普遍方法。确实，比如地图的绘制因治理国家的需要与战争的频繁而发展起来。“道里之远近，城郭之大小……此地图之常也。”（《地图》）要知道道里的远近，城邑的大小，必须依靠测望方法。测望方法当时称为旁要，根据二郑的说法，是九数之一[21]。西汉张苍（？—前152年）、耿寿昌（前一世纪）整理《九章算术》时，补充了解勾股形的内容，并将旁要改称勾股[18]。

从《管子》中要找到当时数学的各种方法，尤其是最先进的方法，是不可能的，如同在目前的经济学、历史学、哲学著作中不可能找到全部的最高级的数学方法一样。但是，上述的分析足以为《九章算术》各章的主要方法成立于先秦提供佐证。

《管子》中还有其他方面的数学知识，如指数概念。“凡首先主一而三之。四开以合九九，以是生黄钟。”（《地员》）这是说：（1×3）4=32×32=9×9。

总之，《管子》的重数思想的产生大约在《九章算术》的主要方法产生之后或同时，它是以丰富的数学知识为基础的。(www.xing528.com)

四

最后，我们将管子学派对数学及科学技术的态度，与当时其他学派作一比较。

今山东地区，春秋战国时期主要有齐、鲁两个大国。通常齐、鲁并称，山东古代文化称为齐鲁文化。但是，齐文化与鲁文化对科学技术的态度有较大的不同。鲁文化实际上是孔孟儒家文化。儒家文化着重伦理道德及治国平天下的方略的阐述，对数学及科学技术极不重视。不管是孔子、孟子，还是荀子，这些先秦儒家的代表人物极少谈到数学与科学技术，通常是以一些自然现象比附他们构想的人类社会的蓝图及伦理规范。而以《考工记》和《管子》为代表的齐文化则不然。《考工记》本身就是一部技术规范书，而《管子》除了阐述伦理道德及治国方略外，特别重视数学与科学技术，并把它视作治国平天下方略的重要的有机组成部分。提到先秦法家，通常以商鞅、申不害、韩非子为代表人物，这是片面的看法。这三位应该称为三晋法家。管子学派也是法家，是齐国法家。历史上也是管商并称，韩非子称之为管商之法，宋明理学称之为管商功利之说[4]。他们的共同特点是强调以法治国。但是，三晋法家过于迷信于严刑苛法，忽视文化和道德教育，也不重视数学与科学技术，至多是他们的耕战政策客观上促进了科学技术的发展，极少正面谈到科学技术。管子学派则既强调法治，也肯定道德教育的必要性[4]，更重视数学与科学技术，因此立论比较全面。

墨家和管子学派是先秦最重视数学与科学技术的两个学派。它们也有所不同。墨家亲自进行数学和自然科学研究，参加技术工作，总结出若干命题，有些命题至今还闪耀着智慧的光芒。管子学派为田齐称霸服务，带有某种智囊团或咨询团的性质。因此，他们多数学与科学技术重要性的论述，以及某些科学政策的建议，而很少总结出数学与自然科学命题。

以上三个方面需进一步阐述。

参考文献

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[11]张佩纶.《管子学》手稿排印本.转自[6].

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[13]孙子算经·序.郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993：228.

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[17]钱宝琮校点.算经十书.北京：中华书局，1963：83.*郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（4）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[18]郭书春.古代世界数学泰斗刘徽.济南：山东科学技术出版社，1992：94～105.繁体修订本.台北：明文书局，1995：92～103.*再修订本.山东科学技术出版社，2013.

[19][日]堀毅.秦汉物价考.秦汉法制吏论考.北京：法律出版社，1988：281，296.

[20]同[6].179.

[21][汉]郑玄.周礼注.十三经注疏.北京：中华书局，1980：731.