用MATLAB计算定积分

函数f（x）在区间[a，b]上的定积分定义为

其中，a＝x0＜x1＜…＜xn-1＜xn＝b；Δxi＝xi-xi-1；ξi∈（xi-1，xi），i＝1，2，…，n；.

设函数F（x）是f（x）在区间[a，b]上的一个原函数，则由牛顿-莱布尼兹公式知

1.定积分符号解

MATLAB符号运算工具箱提供了int函数来求函数的定积分，该函数的调用格式为

其中，fx是函数的符号表达式；x是符号自变量（fx只含一个符号变量时可省略）；a和b分别是积分的积分下限和积分上限.

例5.7　求下列定积分.

解：

注意：上述结果中出现了erf函数，其数学定义为

2.定积分数值解

当被积函数的原函数不能用初等函数表达时，无法利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，此时引入数值方法来计算定积分的近似值.求解定积分的常用数值方法如下.

中点矩形公式：

梯形公式：

抛物线公式：

其中，，i＝1，2，…，n，为区间[a，b]的n个等分点.

例5.8　用中点矩形公式求定积分的近似值（取n＝100）.(www.xing528.com)

解：

MATLAB自身提供了很多求解数值积分的专用函数，常用的如下.

trapz函数：该函数是基于梯形公式设计编写的，其一般调用格式为

其中，x是由分割节点组成的行向量或列向量；y为被积函数在对应节点上的函数值组成的向量；I是返回的数值积分.

quad函数：该函数是基于抛物线公式设计编写的，其一般调用格式为：

I＝quad(fx，a，b，tol)

其中，fx是被积函数的字符表达式、内联函数、匿名函数或M函数；a和b分别是积分下限和积分上限；tol是指定的误差限（默认值为10-6）；I是返回的数值积分.

quadl函数：该函数使用递归自适应Lobatto算法，其调用格式与quad函数完全一致，不再赘述.

例5.9　已知阻尼正弦波函数为

其中，，试求积分.

解：

（1）符号积分法

（2）数值积分法（梯形公式）

（3）数值积分法（抛物线公式）