粒子群收敛性分析：研究成果

4.2.2.1　粒子群的轨迹收敛分析

粒子群算法被看作一种十分有用的优化手段，不过在前期，对它的探究不是很多，对算法的收敛性探究也比较少。在对算法的收敛性进行剖析时，发现参数的选择与算法特性及其效率之间的关系比较密切。当前，学者们对粒子群算法的探究逐渐深入，并且取得了不错的成果，粒子群理论也在渐渐形成。在探讨其收敛性时，应把粒子群模型转化为单独的单粒子活动。Fanvanden Bergh 在他的文章中，对PSO 算法的收敛性做了具体介绍，形成了粒子会收敛到单体最佳值以及种群最佳点的加权值总和这样的结论。本节对粒子群的收敛性说明也是参照 Fanvanden Bergh 的思想进行的[137]。

如果 φ1= c1× r1， φ2= c2× r2，φ1, φ2以及 ω 都 是常数，用式（4-36）来获得其非齐次递归关系：将最初始的条件限制为x(0)= x0，x(1)= x1后，能够用式（4-37）对非齐次递归关系的方式进行相应处理，最终获得式（4-36）的封闭形式。

其中，

在上面的等式中，如果y 和ˆy 在时间上维持一致，那么更新之后的等式的封闭类型在找到最佳位置x 之前的意义将是非凡的，而当找出最佳值时再次计算出k1, k2和k3的值之后，还能够使用上面的公式。

如果φ1, φ2是常数，那么对粒子轨迹的收敛性探讨将变得很简单。不过在处理实际问题时，这些参数不一定是常数，随机性比较强，随机数的最大值会给收敛性带来比较大的影响。所以，运用φ1,φ2的最大可能的值，就能够剖析系统的收敛性。

如果y, , φ1, φ2以及k 都是常数，那么一个粒子的轨迹就能够用式（4-37）来表示，序列的收敛性可以由α 及β 的值确定。从式（4-39）可以看出，γ 是一个虚部不为零的复数，如果式（4-45）和（4-46）均成立。用式（4-45）来对粒子群算法的轨迹进行剖析：

用式（4-46）来代表等价条件：

通过复数γ 获得的α 和β 也是虚部不等于零的复数，α 及β 的大小可借助向量L2的范数来衡量。对任何一个复数z，可用式（4-47）来求L2的范数。

对任意实数zt，式（4-47）可等价为式（4-48）：

上式中，θ =arg( z)。如果有|| z ||＜ 1时，极限

存在，极限值是0。

如果考虑极限中的xt值，那么：(www.xing528.com)

需要注意的是，要确保计算比较容易，在此处φ1和φ2值是常数。然而在实际中，粒子群算法通常难以确定，不过此时可以将c1和c2的值看作φ1和φ2的最大值，系统的一般活动能够借助φ1和φ2的期望值来查看。

如果φ1和φ2是均匀分布，则

把φ1及φ2的期望值代入式（4-53），会得到由式（4-54）计算的结果：

粒子的轨迹会在y 以及yˆ 的平均加权值处出现收敛。比如，假设 c1= c2，那么：

而其他的解能够在任意的c1及c2的取值中得到：

式（4-56）表明，粒子在整体最佳以及个体最佳的一个线性结合点上出现收敛，这样的结果非常关键。由于在全局最优和个体最优之间存在更优解，粒子群的收敛性说明，它能够在更好的范围内进行搜索。在这样的前提下，如果当c1, c2以及ω 符合由式（4-57）计算得到的关系时，可以获得收敛的轨迹。

4.2.2.2　粒子群的速度收敛分析

类似地，按照式（4-37）中的xt= k1+k2αt+k3βt可得：

对其求极限能够知道：

通过上一节可以看出，假设算法收敛，那么

从这些介绍可以看出，假设粒子群的优化方式不发散，那么粒子的速度会按照最初的速度从算法开始进行迭代，一直到得到0 为止，或者从最初值进行缩减，直到得到0 为止。