电流的有效值与交流电和直流电的热效应

1.交流电的有效值

交流电流i是随时间t变化的，即i=i（t），通常有

i=I_msin（ωt+φ）

其中I_m为电流的最大值.

交流电的有效值是指热效应相等的直流电的大小，即当交流电通过电阻在一个周期内产生的热量和某直流电通过同一个电阻在相同时间内产生的热量相等时，这一直流电流的值就叫作交流电的有效值.电流i=i（t），周期为T，∀t∈[0，T]，在区间[t，t+dt]内产生的热量的微元

dQ=i²（t）Rdt

由微元法知在周期内产生的热量为

设有效电流为I₀，则有Q=I₀²RT，从而

若i（t）=I_msin（ωt+φ），得

例4 求交流电流i（t）=I_msin（ωt）的有效功率.

解 有效电流，则有效功率为.

2.电容电压的计算问题

例5 如图6-31所示的电路中，当开关K合上后，其电流为

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求由t=0开始到T时为止电容器上的电压.

图6-31

解 设电路中的电流为i（t），电容器极板上的电量为q（t），两极间的电压为U_C；由电工学可知，，，其中C为电容器的电容，所以需要先计算出由0到T时电容器上电量q（t）.合上开关后电流是改变的，用定积分来求解积累的电量q（t）.取t为时间变量，它的积分区间为[0，T]，假设区间[t，t+Δt]为区间[0，T]上的任一小区间，当时间由t到t+Δt时，电量的改变量为q（t）dt，即电量的微元，所以由0到T时，电容器上积累的电量

于是电容器上的电压为

3.体积功的计算

在热动力理论中，经常要计算理想气体在扩展过程中克服外界压力所做的功，这就是体积功，通常计算公式为

W=P·ΔV

其中P为恒定外界压力，ΔV为体积的变化量.

但当外界压力为变化的量时，以上公式不再适用.设P=P（V），体积从V₁扩展到V₂，则体积功元素为dW=P（V）·dV，从而

例6 某理想气体在一封闭气缸中，气体缓慢扩张，温度恒为T，体积从V₁扩张到V₂，求体积功.

解 由于，则体积功为