高等数学.上册-定积分换元公式的证明

定理 设函数f（x）在区间[a，b]上连续，函数x=φ（t）满足条件：

（1）φ（α）=a，φ（β）=b；

（2）φ（t）在区间[α，β]或者[β，α]上具有连续导数，且其值域R_φ⊂[a，b]，则有

上式叫作定积分的换元公式.与不定积分的换元公式不同的是：我们只需要计算在新的积分变量下，新的被积函数在新的积分区间内的积分值.其证明如下：

证明 设F（x）是f（x）的一个原函数，则

那么

另一方面，由复合函数求导法则可得

从而

所以定理成立.

注意：（1）换元公式对a＞b也成立.

（2）用x=φ（t）把原来的变量x代换成新变量t时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限.

（3）求出f[φ（t）]φ′（t）的一个原函数Φ（t）后，不必再把Φ（t）变换成原来变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入Φ（t）相减就可以了.

例1 计算.

解 设x=asint，则dx=acostdt，且当x=0时，t=0；当x=a时，.于是有

例2 计算.

解(www.xing528.com)

在例2中，如果我们不明显地写出新变量t，那么定积分的上、下限就不要变更.

例3 计算.

解

如果忽略cosx在区间上非正，而按sin³x-sin⁵x=sin³2xcosx计算，将导致错误结果.

例4 证明：（1）若函数f（x）在区间[-a，a]上连续，且为偶函数，则

（2）若函数f（x）在区间[-a，a]上连续，且为奇函数，则

证明 因为

对积分进行代换x=-t，则得

所以

（1）若f（x）为偶函数，则f（x）+f（-x）=2f（x），所以

（2）若f（x）为奇函数，则f（x）+f（-x）=0，所以

利用例4，常可简化奇函数和偶函数在对称区间上的定积分的计算.

例5 设函数

计算

解 令x-2=t，则dx=dt，且当x=1时，t=-1；当x=4时，t=2.于是